Principio de Hamilton para vínculos no holónomos

La elección de coordenadas generalizadas $\{q_k\}$ independientes es directa cuando los vínculos en juego son holónomos, de manera que siempre pueden expresarse los vectores posición de las partículas en términos de ellas, es decir, $\bm{r}_i=\bm{r}_i(q_1,q_2,...\,,q_n)$ —recordemos que en ese caso, si el sistema dispone de $n\,$ grados de libertad, contamos con $n\,$ coordenadas generalizadas—. Cuando en cambio se trata de vínculos no holónomos, no es posible encontrar un conjunto $\{q_k\}$ de manera que se satisfagan automáticamente los vínculos. Sin embargo, es posible aplicar el principìo de Hamilton a estos casos, tomando las precauciones pertinentes; arribaremos entonces a ecuaciones de movimiento similares a las de Euler-Lagrange, con algunos agregados.

Supongamos que escogimos un conjunto de $\mu>n$ coordenadas “casi” generalizadas, es decir, estas variables no son independientes, sino que se relacionan entre sí a través de $p$ ecuaciones de vínculos no holónomos que tienen la forma diferencial

$$\hspace{4em} \sum_{k=1}^\mu a_{\ell k}\,{\rm d}q_k + a_{\ell t}\,{\rm d}t = 0 \hspace{4em} \ell=1,...\,,p \;,$$ (11)

donde los coeficientes $a_{\ell k}\,$ y $a_{\ell t}\,$ son funciones de las $\{q_j\}$ y de $t\,$; es decir, consideramos los casos no holónomos donde en las ecuaciones de vínculo que relacionan a las coordenadas, el tiempo y las velocidades, estas últimas intervienen linealmente. Escribimos para estos casos la lagrangiana $L$ como si no hubiera vínculos, y sabemos que siempre debe satisfacerse el principio de Hamilton: procediendo como en el caso de vínculos holónomos, debe cumplirse

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; \sum_{k=1}^\mu \left[ \f... ...\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\right) \right] \delta q_k = 0 \;.$$

Pero en este punto no podemos afirmar que deba anularse el corchete dentro de la integral, ya que las $\{\delta q_k\}$ no son independientes.

Como los desplazamientos virtuales $\{\delta q_k\}$ se consideran para un instante $t$ fijo, de las relaciones (11) deben cumplir

$$\hspace{4em} \sum_{k=1}^\mu a_{\ell k}\,\delta q_k = 0 \hspace{4em} {\color{gray}\ell=1,...\,,p} \;.$$ (12)

Entonces buscamos un extremo de la acción con este conjunto de restricciones, para lo cual recurrimos al método de multiplicadores de Lagrange: este consiste esencialmente en permitir que las $q_k$ se muevan como si en principio fueran independientes, para luego tener en cuenta que deben satisfacer los vínculos impuestos. Está claro que al respetar las condiciones (12) se cumple también

$$\int_{t_1}^{t_2}{\rm d}t\;\sum_{\ell=1}^p \lambda_\ell\left(\sum_... ...1}^\mu \left(\sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,a_{\ell k}\right)\delta q_k = 0 \;,$$

donde los multiplicadores de Lagrange $\lambda_\ell$ se introducen como incógnitas, cuya utilidad pronto se pondrá en evidencia. De este modo, si añadimos esta última igualdad a la condición anterior para extremar $\S$, no modificamos la identidad que se debe cumplir

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; \sum_{k=1}^\mu \left[ \fra... ..._k}\right) + \sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,a_{\ell k} \right] \delta q_k = 0 \;.$$ (13)

Sabiendo que el número de grados de libertad es $n=\mu-p$, podemos elegir los desplazamientos virtuales $\delta q_1,\delta q_s,...\,,\delta q_{\mu-p}$ como independientes, y los $\delta q_k$ restantes ($p$) se escribirán en función de ellos. De este modo elegimos los $p$ multiplicadores $\lambda_\ell$ para que los últimos $p$ coeficientes que acompañan a $\delta q_k$ en las sumas anteriores se anulen ( $k=\mu-p+1\,,\,\mu-p+2\,,\cdots,\mu\,$). Es decir los últimos $p$ multiplicadores $\lambda_\ell$ se eligen para que se cumpla

$$\hspace{2em} \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{{\rm d}~}{{... ... \sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,a_{\ell k} = 0 \qquad k=\mu-p+1\,,\cdots,\mu \,.$$

Con esta elección, la condición (13) solo involucra las $\mu-p$ primeras $\delta q_k$, que son independientes y por lo tanto debe anularse cada uno de los coeficientes que las acompañan

$$\frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\le... ...) + \sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,a_{\ell k} = 0 \qquad k=1\,,\cdots,\mu-p \,.$$

Así hemos construido un sistema de $\mu$ ecuaciones con $\mu$ incógnitas: las $\mu-p\,$ primeras $q_k$ que consideramos como independientes, más los $p$ multiplicadores de Lagrange $\lambda_\ell$

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q... ...al q_k} = \sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,a_{\ell k} \qquad k=1\,,\cdots,\mu \,.$$

Una vez resuelto, para obtener todas las $q_k$ además de los $\lambda_\ell$ podemos utilizar las $p$ ecuaciones de vínculo (11), que pueden reescribirse como

$$\hspace{4em} \sum_{k=1}^\mu a_{\ell k}\,\dot{q}_k + a_{\ell t} = 0 \hspace{4em} \ell=1,...\,,p \;,$$

es decir contamos con $\mu+p$ ecuaciones para $\mu+p$ incógnitas.