Fuerzas de vínculo

Si en lugar de los vínculos hubiese un fuerzas generalizadas $\{Q_k'\}$ (ficticias) —no incluidas en la lagrangiana— que obliguen a respetar las restricciones impuestas, habríamos planteado las ecuaciones presentadas más arriba

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k' \;,$$

de manera que al comparar, resulta evidente que podemos identificar las componentes de las fuerzas (generalizadas) de vínculo como

$$Q_k' = \sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,a_{\ell k} \;.$$

Vemos entonces que al incluir los vínculos no holónomos en el procedimiento, podemos encontrar las fuerzas de ligadura que intervienen en el sistema. Esta conclusión no solo es válida para los vínculos no holónomos: podemos repetir el razonamiento anterior para sistemas regidos por restricciones holónomas

$$\hspace{4em} f_\ell(q_1,q_2,...\,q_\mu,t) = 0 \hspace{4em} \ell=1,...\,,p \;,$$

ya que al derivarlas con respecto al tiempo

$$\sum_{k=1}^\mu\frac{\partial f_\ell}{\partial q_k}\,\dot{q}_k + \frac{\partial f_\ell}{\partial t} = 0$$

toman la forma (11), identificando $a_{\ell k}$ y $a_{\ell t}$ como las derivadas parciales respectivas de cada término. Por supuesto, estas ecuaciones son integrables, pero las reescribimos para lograr una descripción que involucre las fuerzas de vínculo cuando estas sean de interés.

Para fijar ideas con un vínculo holónomo simple, volvamos a aquel ejemplo de una masa puntual $m$ “confinada” a moverse a lo largo de un alambre que rota con velocidad angular $\omega$ constante (§2.5). En lugar de restringir el problema a un solo grado de libertad, fingimos que la masa $m$ puede desplazarse atravesando el alambre, y luego imponemos la condición de vínculo que ponga en evidencia el efecto de la fuerza de ligadura que la mantiene con $\theta=\omega\,t$. Eligiendo las coordenadas polares $\rho$ y $\theta$, aspiramos a encontrar dos funciones de movimiento, más la fuerza generalizada de vínculo, que solo tiene componente transversal al alambre.

La lagrangiana entonces cuenta solo con la energía cinética (no hay gravedad)

$$L = \frac{m}{2}\dot{\rho}^2 + \frac{m}{2}\rho^2\dot{\theta}^2 \;,$$

y debemos incorporar la condición de vínculo (una sola: $p=1$)

$$f_1 = \theta-\omega\,t = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \dot{\theta}-\omega = 0$$   o bien$$\qquad {\rm d}\theta-\omega\,{\rm d}t = 0 \;.$$

Comparando con (11), y notando que aquí solo interviene $\ell=1$, identificamos

$$a_{1\rho}=0 \;, \hspace{4em} a_{1\theta}=1 \;, \hspace{4em} a_{1t}=-1 \;,$$

y advertimos que interviene un solo multiplicador de Lagrange $\lambda_{\color{gray}1}$ de modo que las ecuaciones de movimiento que obtenemos son

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\... ...ot{\rho} - m\,\rho\,\dot{\theta}^2 = \lambda_{\color{lightgray}1} a_{1\rho} = 0$$   y$$\qquad \frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\parti... ...lambda_{\color{lightgray}1} a_{1\theta} = \lambda_{\color[rgb]{.9,.9,.7}1} \;.$$

Agregamos ahora la información provista por la ecuación de vínculo, que permite reemplazar $\dot{\theta}=\omega$ y por lo tanto $\ddot{\theta}=0$, de manera que la primera de las ecuaciones nos devuelve

$$\ddot{\rho} = \omega^2\rho \qquad \Rightarrow \qquad {\color[rgb]... ...rho(t) = A\,e^{\omega t} + B\,e^{-\omega t}\rule[-0.75em]{0em}{2em} $\ }} \;.$$

De aquí podemos derivar $\dot{\rho}$ y reemplazar en la segunda ecuación de movimiento, para encontrar la fuerza generalizada de vínculo que el alambre ejerce sobre la masa, obligándola a mantener su velocidad angular $\dot{\theta}=\omega$ constante

$$\lambda_{\color[rgb]{.9,.9,.7}1} = Q_{\theta}' = 2\,m\,\omega^2\left[ A^2 e^{2\omega t} - B^2 e^{-2\omega t} \right]$$

(¿serán correctas las unidades de $Q_{\theta}'$?). Las condiciones iniciales imponen los valores para $A$ y $B$.

Otro ejemplo para ilustrar la utilidad de los multiplicadores de Lagrange es el de un cilindro de radio $a$ que rueda sin deslizar sobre otro cilindro fijo de radio $b$. Los ejes de estos cilindros son paralelos, perpendiculares al plano de la figura, y todo el sistema se encuentra bajo la acción de la gravedad. Si bien el sistema posee un solo grado de libertad, ya que el ángulo de giro del cilindro móvil es suficiente para determinar su estado, elegimos en este caso 3 coordenadas para describirlo: la posición del centro del cilindro móvil en coordenadas polares $\rho$ y $\theta$ respecto de un referencial fijo en el centro del cilindro mayor, y su orientación mediante el ángulo de giro $\varphi$. Con estas elecciones, escribimos la lagrangiana para el cilindro móvil como

$$L = \frac{m}{2} (\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2) + \frac{I_o}{2}\dot{\phi}^2 - m\,g\,\rho\cos\theta \;,$$

donde sabemos que el momento de inercia baricéntrico del cilindro es $I_o=ma^2/2$. Agregamos las ecuaciones para los dos vínculos holónomos

$$\rho\,\dot{\theta} = a\,\dot{\varphi}$$   (condición de rodadura)$$\;, \hspace{5em} \rho = a+b$$   (contacto rígido)$$\;.$$

Expresamos ambas condiciones en la forma (11) tomando $\,q_1\!=\!\rho\,$, $q_2\!=\!\theta\,$ y $\,q_3\!=\!\varphi\,$ (ejercicio)

$$\rho\,{\rm d}\theta - a\,{\rm d}\varphi = 0 \;, \hspace{8em} {\rm d}\rho = 0 \;.$$

En la primera de estas relaciones identificamos $\,a_{1\rho}\!=\!0\,,\;a_{1\theta}\!=\!b\,,\; a_{1\varphi}\!=\!-a\;$ y $\,a_{1t}\!=\!0\,$, y en la segunda, $\,a_{2\rho}\!=\!1\,,\;a_{2\theta}=a_{2\varphi}=a_{2t}=0\,$. Las ecuaciones de movimiento resultan (ejercicio)

$$m\,\ddot{\rho} - m\,\rho\,\dot{\theta}^2 + m\,g\,\cos\theta = {\color{gray}\lambda_1 a_{1\rho}} + \lambda_2\,a_{2\rho} = \lambda_2 \;,$$

$$m\,\rho^2\,\ddot{\theta} + 2\,m\rho\,\dot{\rho}\,\dot{\theta} - m... ...mbda_1 a_{1\theta} + {\color{gray}\lambda_2\,a_{2\theta}} = \rho\,\lambda_1 \;,$$

$$\frac{ma^2}{2}\ddot{\varphi} = \lambda_1 a_{1\varphi} + {\color{gray}\lambda_2\,a_{2\varphi}} = -a\,\lambda_1 \;.$$

Imponiendo los vínculos

$$\dot{\rho}=0 \;,\quad \ddot{\rho}=0 \;, \qquad (a+b)\,\dot{\theta... ...rphi} \quad \leftrightarrow\quad\dot{\varphi} = \frac{a+b}{a}\dot{\theta} \;,$$

podemos resumir las ecuaciones de movimiento como (ejercicio)

$$\frac{3}{2}(a+b)\,\ddot{\theta} - g\,\operatorname{sen}\theta = 0 \;.$$

Para la fuerza $N$ normal al cilindro fijo encontramos (otro ejercicio)

$$N = Q_\rho' = \lambda_2 = m\,g\,\cos\theta - m(a+b)\, \dot{\theta}^2 \;,$$

mientras que para la fuerza de roce $f_r$ que garantiza la condición de rodadura (otro más),

$$f_r = \frac{Q_\theta'}{b+a} = -\frac{m\,g\operatorname{sen}\theta}{3} \;.$$

Vemos entonces que en el caso holónomo, en virtud de que las relaciones $f_\ell$ no involucran a las $\dot{q}$, puede definirse una lagrangiana “extendida” o “expandida”

$$\Lambda = L(q,\dot{q},t) + \sum_{\ell=1}^p \lambda_\ell\, f_\ell(q,t) \;,$$

y considerar $\mu+p$ variables independientes $\,\xi_1=q_1,\, \xi_2=q_2,...\,,\, \xi_\mu=q_\mu, \,\xi_{\mu+1}=\lambda_1,...\,,\,\xi_{\mu+p}=\lambda_p\,$; de este modo se condensa la información como

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial\Lambda}{\partial\... ...t) - \frac{\partial\Lambda}{\partial\dot{\xi}_k} = 0 \qquad k=1,...\,,\mu+p \;.$$ (14)

Es fácil comprobar que como los $\dot{\lambda}_\ell$ no intervienen en $\Lambda$, parte de estas ecuaciones devuelven las relaciones de vínculo

$$\frac{\partial\Lambda}{\partial\xi_{\mu+\ell}\!\!\!\!} = f_\ell(q,t) = 0 \;.$$

En muchos casos esta expresión puede resultar provechosa, y en otros no tanto, por lo que es conveniente utilizarla con prudencia. De cualquier modo, vale la pena dejar en claro que para obtener las ecuaciones de movimiento, aplicamos el principio de Hamilton imponiendo la condición de extremo a través de la inclusión de los vínculos

$$\delta \int_{t_1}^{t_2} {\rm d}t\; \left[ L(q,\dot{q},t) + \sum_{\ell=1}^p\lambda_\ell\,f_{\ell}(q,t) \right] = 0 \;,$$

donde tomamos $q_1,...\,,q_\mu\,$ y $\lambda_1,...\,,\lambda_p\,$ como variables independientes.