Constantes de movimiento

Llamaremos coordenadas cíclicas o coordenadas ignorables a aquellas $q_k$ que no aparecen en la lagrangiana $L(q,\dot{q},t)$ —aunque seguramente las $\dot{q}_k$ asociadas sí aparecen. Para cada coordenada generalizada $q_k$ definimos el momento conjugado (o momento canónico conjugado) como

$$p_k \equiv \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k} \;.$$

Por supuesto, si trabajamos con coordenadas cartesianas, estos momentos no son otra cosa que las componentes del momento lineal (ejercicio).

La utilidad de estas definiciones se pone en evidencia al analizar las ecuaciones de movimiento (5)

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 \;,$$

ya que si $q_k$ es una coordenada cíclica, entonces el segundo término de la izquierda se anula, por lo cual encontramos que se conserva el momento generalizado

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k} = p_k =$$   constante$$\;.$$

Por ejemplo, cuando analizamos en coordenadas esféricas $(r,\theta,\varphi)$ un “potencial central”, es decir, solo depende de la distancia $r\!\equiv\!\vert\bm{r}\vert$ al origen de coordenadas, la lagrangiana se expresa

$$L = \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\operatorname{sen}^2\!\theta\,\dot{\varphi}^2 \right) - V(r) \;.$$

En este caso la coordenada $\varphi$ es cíclica, de modo que se conserva el momento conjugado $p_\varphi$

$$p_\varphi = \frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} = m\,r^2\operatorname{sen}^2\!\theta\,\dot{\varphi}$$   constante$$\;.$$

Se deja como ejercicio verificar que $p_\varphi$ coincide con la componente $z$ del momento angular de la partícula $J_z=(\bm{r}\times\bm{p})_z$.

Consideremos ahora el ejemplo de la figura, consistente en un péndulo ideal de masa $m$ y longitud $\ell$, cuyo punto de suspensión puede deslizar libremente sobre un alambre horizontal. Eligiendo las coordenadas indicadas, la lagrangiana resulta $$L = \frac{m}{2}\left( \dot{x}^2+\ell^2\dot{\theta}^2+2\,\ell\,\dot{x}\,\dot{\theta}\cos\theta\right) + mg\cos\theta \;,$$ de manera que la coordenada $x$ es cíclica; por lo tanto $$p_x = m\,\dot{x} + m\,\ell\,\dot{\theta} =$$   constante$$\;.$$

Justamente, como no hay fuerzas en la dirección horizontal, esperábamos que se conserve la componente $x$ del momento lineal.