Simetrías y cantidades conservadas

Vemos entonces que cada vez que tenemos una coordenada cíclica $q_k$ podemos hablar de una simetría del sistema, ya que provocamos cambios representados en $q_k$ y vemos que la dinámica representada en la lagrangiana no cambia. Exactamente esto ocurre cuando analizamos traslaciones o rotaciones en las que sabemos que no se producen cambios en el sistema mecánico descripto.

Para completar el análisis introduzcamos el concepto de transformaciones infinitesimales, definidas a través de

$$\bm{r}_i \to \bm{r}_i'= \bm{r}_i + \delta\bm{r}_i \quad,\qquad \bm{v}_i \to \bm{v}_i'= \bm{v}_i + \delta\bm{v}_i \;.$$

Como consecuencia de estas variaciones, la lagrangiana se modificará según

$$\delta L = L(\bm{r}',\bm{v}_i',t) - L(\bm{r},\bm{v}_i,t) = \sum_... ...\bm{r}_i + \frac{\partial L}{\partial\bm{v}_i}\cdot\delta\bm{v}_i \right) \;.$$

Un ejemplo de este tipo de transformaciones es una “traslación rígida”, en la que todas las partículas que componen el sistema sufren el mismo desplazamiento $\bm{\varepsilon}$ (pequeño)

$$\delta\bm{r}_i = \bm{\varepsilon} \qquad \forall i \qquad (\delta\bm{v}_i=0) \;.$$

Otra transformación infinitesimal usual es la “rotación rígida”, en la que todas las partículas cambian su orientación mediante un giro $\delta\theta$ alrededor de un eje de rotación $\bm{\hat{n}}$, como se señala en la figura. Utilizando la regla de la mano derecha para las rotaciones, podemos siempre asignar un vector $\delta\bm{\theta}=\delta\theta\,\bm{\hat{n}}$ a cada rotación infinitesimal, donde el carácter vectorial acompaña el sentido de rotación y todos los desplazamientos que se provocan son normales al eje de rotación: $$\delta\bm{r}_i = \delta\bm{\theta} \times \bm{r}_i \;, \qquad \delta\bm{v}_i = \delta\bm{\theta} \times \bm{v}_i \;,$$