Simetría ante desplazamientos temporales

En el caso en que la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, podemos decir que es invariante ante desplazamientos temporales. Si realizamos la descripción mediante las coordenadas generalizadas $\{q_k\}$, en estos casos la función energía —también llamada integral de Jacobi—

$$h = \sum_{k=1}^n \dot{q}_k\,\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_k} - L$$

es una constante de movimiento. Para demostrarlo explicitamos

$$\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t} = \sum_{k=1}^n \left[ \ddot{q}_k\,\frac... ...ight) \textcolor[rgb]{.6,.6,.6}{ + \frac{\partial L}{\partial t}} \right] \;.$$

En virtud de las ecuaciones de Lagrange se cancelan los factores de $\dot{q}_k$, de manera que

$$\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t} = 0 \textcolor[rgb]{.6,.6,.6}{\; = -\frac{\partial L}{\partial t}} \;,$$

y como $L=T-V$ no depende explícitamente del tiempo, concluimos que $h$ es una cantidad conservada.

Cuando $V(\bm{r})$ es independiente de las velocidades y además solo contamos vínculos holónomos que no involucran explícitamente al tiempo

$$\bm{r}_i=\bm{r}_i(q_1,,...\,,q_n) \quad\Leftrightarrow\quad \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial t} = 0 \;,$$

entonces se cumple que

$$h = \sum_{k=1}^n \dot{q}_k\,\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_k} - (T-V) \;,$$

de manera que $h$ representa la energía $E$ del sistema: como

$$T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N... ...tial q_k} \, \frac{\partial\bm{r}_i}{\partial q_j}\, \dot{q}_k\,\dot{q}_j \;,$$

es directo mostrar que (ejercicio)

$$h = 2T - V - (T-V) = T+V = E \;.$$

En algunos sistemas puede cumplirse esta última identidad, aunque los vínculos holónomos involucren explícitamente el tiempo, es decir $\bm{r}_i=\bm{r}_i(q_1,,...\,,q_n,t)\,$: en esos casos también vale que $h=E$, aunque no se trata de una cantidad conservada.

Cuando actúan fuerzas disipativas como las descriptas en $\S$3.3.2 mediante una función de disipación

$$\mathscr{D} = \frac{1}{2} \sum_{1=1}^N \left( k_x\,v_{ix}^2+k_y\,v_{iy}^2+k_z\,v_{iz}^2 \right) \;,$$

$h$ no se conserva, y en cambio puede mostrarse que

$$\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t} = - \sum_{k=1}^n \dot{q}_k\,\frac{\part... ...tial\dot{q}_k}\, \textcolor{lightgray}{ -\, \frac{\partial L}{\partial t}} \;.$$

Como dijimos arriba, si se cumple $\bm{r}_i=\bm{r}_i(q_1,,...\,,q_n)$, es decir, $h$ coincide con $E$, y dado que $\mathscr{D}$ es una función homogénea de segundo grado en las velocidades, utilizando el teorema de Euler para funciones homogéneas, puede mostrarse que

$$\frac{{\rm d}E}{{\rm d}t} = - 2\mathscr{D}\, \textcolor{lightgray}{ -\, \frac{\partial L}{\partial t}} \;.$$