Simetría ante rotaciones

Pensemos ahora un sistema descripto mediante la lagrangiana $L=T-V(\bm{r})$ y los vínculos holónomos $\{f_\ell(\bm{r}_1,...\,,\bm{r}_N)=0\}$, como en el caso anterior. Cuando tanto $L$ como $\{f_\ell\}$ son invariantes ante rotaciones rígidas, el momento angular total del sistema se mantiene constante (“isotropía del espacio”). Nuevamente, demostramos este “teorema” analizando los cambios provocados en la lagrangiana extendida por una rotación infinitesimal, que debe anularse por hipótesis

$$\delta\Lambda = 0 = \sum_{i=1}^N \left[ \frac{\partial\Lambda}{\p... ...Lambda}{\partial\bm{v}_i}\cdot(\delta\bm{\theta}\times\bm{v}_i) \right] = 0 \;.$$ (15)

Teniendo presente que

$$\frac{\partial\Lambda}{\partial\bm{v}_i} = \bm{p}_i$$   y$$\qquad \frac{\partial\Lambda}{\partial\bm{r}_i} = \frac{{\rm d}... ...t}\!\left(\frac{\partial\Lambda}{\partial\bm{v}_i}\right) = \bm{\dot{p}}_i \;,$$

y recordando que ante permutaciones cíclicas vale la identidad $\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c})=\bm{b}\cdot(\bm{c}\times\bm{a})$, la invariancia de $\Lambda$ ante rotaciones (15) equivale a

$$\delta\bm{\theta} \cdot \sum_{i=1}^N \left( \bm{r}_i\times\bm{\do... ...{{\rm d}~}{{\rm d}t}\sum_{i=1}^N \left( \bm{r}_i\times\bm{p}_i \right) = 0 \;.$$

Como esta identidad debe anularse para $\delta\bm{\theta}$ arbitrario, entonces debe anularse el último factor

$$\frac{{\rm d}~}{{\rm d}t}\sum_{i=1}^N \left( \bm{r}_i\times\bm{p}_i \right) = \frac{{\rm d}\bm{J}}{{\rm d}t} = 0 \;,$$

es decir, se conserva el momento angular total $\bm{J}$. Nuevamente, esta es una identidad vectorial, es decir una condición que deben cumplir las 3 componentes $J_x\,$, $J_y\,$ y $J_z\,$. Puede ocurrir que solo tengamos invariancia de $\Lambda$ ante rotaciones en torno de cierto eje $\bm{\hat{n}}$ solamente, en cuyo caso se conservará la proyección de $\bm{J}$ sobre esa dirección

$$\delta\theta\,\bm{\hat{n}} \cdot \frac{{\rm d}\bm{J}}{{\rm d}t} =... ...{\rm d}\,(\bm{\hat{n}}\cdot\bm{J})\rule{-2.7em}{0em}}{{\rm d}t} \rule{4em}{0em}$$   $$\mbox{($\delta\theta$\ arbitrario)}$$$$\qquad \Rightarrow \qquad \bm{\hat{n}}\cdot\bm{J}$$   constante$$\;.$$