Simetría ante traslaciones

Supongamos un sistema que responde a la lagrangiana $L=T-V(\bm{r})$ además de ciertos vínculos holónomos $\{f_\ell(\bm{r}_1,...\,,\bm{r}_N)=0\}$. Si tanto $L$ como $\{f_\ell\}$ son invariantes ante traslaciones rígidas, entonces el momento lineal total del sistema se conserva (“homogeneidad en el espacio”). Para demostrarlo, podemos considerar la información contenida en la lagrangiana extendida

$$\Lambda = L(\bm{r},\bm{v},t) + \sum_{\ell=1}^p \lambda_\ell\,f_\ell(\bm{r},t) \;,$$

la cual resulta invariante ante traslaciones arbitrarias:

$$\delta\bm{r}_i = \bm{\varepsilon} \qquad \forall i \qquad \Righta... ...arepsilon} \cdot \sum_{i=1}^N \frac{\partial\Lambda}{\partial\bm{r}_i} = 0 \;.$$

Como $\bm{\varepsilon}$ (pequeño) es arbitrario, debe anularse el segundo factor de la expresión precedente, y como los vínculos son holónomos las derivadas de las $f_\ell$ se anulan, podemos recurrir a las ecuaciones de Lagrange (14) en términos de $\Lambda$

$$\sum_{i=1}^N \frac{\partial\Lambda}{\partial\bm{r}_i} = 0 = \sum... ...}^N \bm{p}_i = \frac{{\rm d}\bm{P}}{{\rm d}t} \qquad\Rightarrow\qquad \bm{P} =$$   constante$$\;.$$

Como esta es una identidad vectorial, en general implica 3 condiciones sobre cada una de las componentes del impulso lineal total ($P_x=\,$constante, $P_y=\,$constante, $P_z=\,$constante). Puede ocurrir entonces que haya simetría respecto de traslaciones en alguna dirección pero no en otras, con lo cual solo se conservará la correspondiente componente del impulso lineal total.