Teorema : $[f,g]\,$ es invariante ante transformaciones canónicas.

 

Puede demostrarse este teorema escribiendo todas las derivadas involucradas en la definición de los corchetes de Poisson, aunque eso resulta demasiado engorroso. Para no distraer la atención del aplicado lector, tratemos de convencernos de que $[f,g]_{P,Q}=[f,g]_{p,q}\,$ imaginando un sistema representado por $H=f\,$. Pensamos esto para un $t\,$ fijo, ya que $t\,$ no está entre las variables que se transforman; esto es equivalente a considerar que $g\,$ no depende explícitamente de $t\,$: en ese caso

$$\frac{{\rm d}g}{{\rm d}t} = {\color{lightgray}\frac{\partial g}{\partial t}} + [g,H]_{p,q} \;.$$

Evidentemente, esta derivada no puede depender de nuestra elección de $(p,q)$ o $(P,Q)$ para evaluarla.

Este teorema nos provee un método para verificar si una dada transformación es canónica, ya que teniendo presente que

$$[q_j,q_k]_{p,q}=0 \;,\qquad [p_j,p_k]_{p,q}=0 \;,\qquad [q_j,p_k]_{p,q}=\delta_{j,k} \;,$$

debe cumplirse

$$[q_j,q_k]_{P,Q}=0 \;,\qquad [p_j,p_k]_{P,Q}=0 \;,\qquad [q_j,p_k]_{P,Q}=\delta_{j,k} \;,$$

o equivalentemente

$$[Q_j,Q_k]_{p,q}=0 \;,\qquad [P_j,P_k]_{p,q}=0 \;,\qquad [Q_j,P_k]_{p,q}=\delta_{j,k} \;.$$

Si bien aquí no entramos en detalle respecto de la demostración de esta propiedad, es importante señalar que estas condiciones resultan suficientes para garantizar que la transformación es canónica.