El método de Hamilton-Jacobi

Al formular el principio de Hamilton, siempre consideramos que las condiciones en los extremos de la acción (8) correspondían a instantes $t_1\,$ y $t_2\,$ preestablecidos. Ahora que sabemos que se cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange, podemos dejar libre la restricción en $t_2\,$, es decir $q(t_2)\,$ no está fijado de antemano, aunque sabemos que la acción se minimiza para las diferentes soluciones asociadas a esas condiciones. En ese caso, las $\delta q(t)\,$ desembocan en diferentes $q(t_2)\,$, de manera que la condición (9) resulta

$$\delta S = \sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_j}... ...}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_j}\right)} \right] \delta q_j \;,$$

siempre manteniendo la condición $\delta q(t_1)=0\,$. Sabemos que el segundo término de la derecha se anula, ya que se respetan las ecuaciones de movimiento, de modo que solo sobrevive el primer término evaluado en el extremo superior

$$\hspace{8em} \delta S = \sum_{j=1}^n \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_j}\,\delta q_j = \sum_{j=1}^n p_j\,\,\delta q_j \hspace{5em} ($$simplificamos notación: $$\delta q_j(t_2)=\delta q_j) \;,$$

es decir,

$$\frac{\partial S}{\partial q_j} = p_j \;.$$

Si en cambio pensamos que lo que está libre es $t=t_2\,$, de la definición de la integral de accción tenemos que

$$S = \int_{t_1}^{t} {\rm d}t'\; L \qquad\Rightarrow\qquad \frac{{\rm d}S}{{\rm d}t} = L \;.$$

Entonces, al considerar que la acción puede depender tanto de $q\;\color{gray}\big(\!=q(t_2)\big)\,$ como de $t\;\color{gray}(=t_2)\,$,

$$\frac{{\rm d}S}{{\rm d}t} = L = \frac{\partial S}{\partial t} + ... ..., \dot{q}_j = \frac{\partial S}{\partial t} + \sum_{j=1}^n p_j\,\dot{q}_j \;,$$

o bien

$$\frac{\partial S}{\partial t} = L - \sum_{j=1}^n p_j\,\dot{q}_j =... ... \qquad\Leftrightarrow\qquad \frac{\partial S}{\partial t} + H(q,p,t) = 0 \;.$$

La estrategia de explicitar que tomamos como variables propias de $\S$ a las coordenadas y el tiempo, nos permite llegar a la ecuación de Hamilton-Jacobi

$$\frac{\partial S}{\partial t} + H\!\left(q_1,...\,,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_1},...\,,\frac{\partial S}{\partial q_n},t\right) = 0 \;.$$

Esta es una ecuación no lineal (originalmente era cuadrática en los $p\,$) en derivadas parciales: su solución provee las ecuaciones de movimiento, ya que nuestro desarrollo nos llevó a formas alternativas del principio de Hamilton. En la resolución de la ecuación de Hamilton-Jacobi surgirán $(n+1)$ constantes de integración: $\alpha_1,...\,,\alpha_n$ al integrar $q_1,...\,,q_n\,$ más una constante aditiva global $A\,$ asociada a la integración en $t$ (lineal). Separando esa constante $A\,$ podemos escribir

$$S = f(q_1,...\,,q_n;\alpha_1,...\,,\alpha_n;t) + A \;,$$

vemos que si pudiéramos llevar $(p,q)\to(\alpha,\beta)\,$ a través de la función generatriz $\Phi(q,\alpha,t)\equiv f(q,\alpha,t)$, donde $\alpha\,$ y $\beta\,$ juegan respectivamente los roles de impulsos y coordenadas nuevos, se cumpliría

$$p_j = \frac{\partial\Phi}{\partial q_j} \;, \qquad \beta_j = \fr... ...hi}{\partial\alpha_j} \;, \qquad H' = H + \frac{\partial\Phi}{\partial t} \;.$$

Pero notemos que

$$\frac{\partial\Phi}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial t} =... ... - H \qquad \Rightarrow \qquad H' = \frac{\partial S}{\partial t} + H = 0 \;.$$

¿Qué información útil podría proveernos un hamiltoniano $H'$ idénticamente nulo? Aparentemente ninguna, aunque las ecuaciones de Hamilton en esta nueva representación resultan

$${\color{lightgray}\dot{P}_j = -\frac{\partial H'}{\partial Q_j} \... ...j = -\frac{\partial H'}{\partial\beta_j} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \alpha_j = \;,$$

$${\color{lightgray}\dot{Q}_j = \frac{\partial H'}{\partial P_j} \q... ...j = -\frac{\partial H'}{\partial\alpha_j} = 0 \qquad\Rightarrow\qquad \beta_j = \;.$$

En realidad la información valiosa no está precisamente en $H'$ sino en la transformación canónica involucrada, ya que las ecuaciones

$$\frac{\partial\Phi(q,\alpha,t)\rule{-2.5em}{0em}}{\partial\alpha_j}\rule{2.3em}{0em} = \beta_j$$ (40)

permiten despejar las soluciones $q_k(t,\alpha,\beta)\,$ para nuestro problema.

El método de Hamilton-Jacobi consiste entonces en construir el Hamiltoniano $H$, explicitar las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, y luego encontrar una solución $S=f(q_1,...\,,q_n;\alpha_1,...\,,\alpha_n;t)+A\,$, para construir el sistema de ecuaciones (40); de allí obtenemos las $q_k(t,\alpha,\beta)\,$ que resuelven nuestro problema (también podemos expresar $p_j=\partial S/\partial q_j$).

En algunos casos donde las cuentas pueden complicarse, conviene probar con alguna constante $\alpha$ conocida previamente, de modo que $\partial S/\partial\alpha=\,$cte. permite establecer una relación particular entre las $q\,$ y $t\,$, reduciendo la dimensionalidad del problema.

En los casos en que $H$ no depende explícitamente del tiempo, es decir para sistemas conservativos, se cumplirá

$$\frac{\partial S}{\partial t} = -E \;{\color[rgb]{.7,.7,.7}(=\mbox{cte})} \qquad\Rightarrow\qquad S = S_o(q) - E\,t \;,$$

lo que equivale a reescribir la ecuación de Hamilton-Jacobi como

$$H\!\left(q_1,...\,,q_n,\frac{\partial S_o}{\partial q_1},...\,,\frac{\partial S_o}{\partial q_n}\right)=E \;.$$

Veamos en este contexto el ejemplo de un oscilador armónico unidimensional

$$H(p,q) = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}q^2 \;,$$

recordando que $p=\partial S/\partial q\,$. La ecuación de Hamilton-Jacobi

$$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^2 + \frac{m\omega^2}{2}q^2 = 0$$

sugiere proponer, en consonancia con el desarrollo previo,

$$S = S_1(t) + S_2(q) \;.$$

Denotando $\,\dot{S}_1=\partial S/\partial t\,$ y $\,S'_2=\partial S/\partial q\,$, reescribimos la expresión anterior

$$-\dot{S}_1(t) = \frac{1}{2m}\big[S'_2(q)\big]^2 + \frac{m\omega^2}{2}q^2 = \alpha$$   (constante de separación)$$\,.$$

Justamente, arriba señalamos que la derivada temporal de $\S$ en un sistema conservativo es una constante ($E\,$). De la expresión anterior podemos despejar e integrar por separado en $t\,$ y en $q\,$ (ejercicio)

$$S'_2(q) = \sqrt{2m\alpha-m^2\omega^2q^2} \qquad\Rightarrow\qquad ... ...= m\omega \int{\rm d}q\; \sqrt{\frac{2\alpha}{m\omega^2}-q^2} - \alpha\,t \;.$$

Entonces encontramos $\beta\,$ (que juega el rol de una nueva coordenada $Q$)

$$\beta = \frac{\partial S}{\partial\alpha} = \frac{1}{\omega}\int... ...a^2}} \operatorname{sen}(\omega t+\phi_o) \qquad (\phi_o\equiv\beta\omega) \;.$$

Arribamos así a la expresión familiar para la función de movimiento; sustituyendo la constante $\alpha=E$, vemos que las soluciones coinciden con las encontradas en otros momentos vitales de nuestra juventud.

Consideremos a continuación otro ejemplo, que involucra el campo central $V(r)=-K/r\,$. Recordando que el movimiento se desarrolla en un plano, escogemos las coordenadas polares $r,\phi\,$ y escribimos el hamiltoniano

$$H = \frac{1}{2m}\bigg(p_r^2+\frac{p_\phi^2}{r^2}\bigg) - \frac{K}{r} \;.$$

Notando que la coordenada $\phi\,$ es cíclica, vemos que $p_\phi\,$ es una cantidad conservada (ya sabemos que es la proyección $J_z\,$ del momento angular, y que es el módulo de $\bm{J}$, normal al plano del movimiento). Teniendo presente que

$${\color{lightgray}p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}} \hspace{5e... ... S}{\partial r} \hspace{5em} p_\phi=\frac{\partial S}{\partial\phi} = \alpha_2$$   (constante)$$\;, \hspace{5em}$$

estamos en condiciones de escribir la ecuación de Hamilton-Jacobi

$$\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\p... ...t(\frac{\partial S}{\partial\phi}\right)^{\!2}\, \right] - \frac{K}{r} = 0 \;.$$

De forma análoga al ejemplo previo, proponemos $\,S=S_1(r)+S_2(\phi)+S_3(t)\,$ y sustituimos en la expresión anterior

$$\frac{1}{2m} \left[ \left(\frac{{\rm d}S_1(r)\rule{-1.7em}{0em}}{... ...le{1.5em}{0em}\right)^{\!2}\, \right] - \frac{K}{r} = -\dot{S}_3(t) = \alpha_3$$   (constante)$$\;.$$

Podemos afirmar que $\alpha_3\,$ es una constante porque el miembro de la izquierda no depende de $t\,$, mientras que $-\dot{S}_3(t)$ solamente depende de $t\,$. Continuando con la receta del método de Hamilton-Jacobi,

$${\color{lightgray}(Q_j=)\;} \beta_j = \frac{\partial S}{\partial\alpha_j} \;,$$   y notando que$$\qquad \frac{\partial S}{\partial\phi} = \frac{{\rm d}S_2}{{\rm d}\phi} = \alpha_2$$   (cte.)$$,$$

reemplazamos en la expresión anterior y despejamos (ejercicio)

$$\frac{{\rm d}S_1(r)\rule{-1.7em}{0em}}{{\rm d}r}\rule{1.5em}{0em} = \sqrt{2m\alpha_3+\frac{2mK}{r}-\frac{\alpha_2^2}{r^2}} \;.$$

Reuniendo toda esta información,

$$S = {\color{lightgray}\left[{\color{black}\int{\rm d}r\; \sqrt{2m... ...ac{2mK}{r}-\frac{\alpha_2}{r^2}}}\;\right]} + \alpha_2^2\phi - \alpha_3 t \;.$$

Con esta expresión, estamos en condiciones de explicitar las derivadas $\partial S/\partial\alpha_j=\beta_j\,$ para obtener una relación entre las coordenadas y encontrar, por ejemplo, ecuaciones para las trayectorias. Si nos convencemos (ejercicio) de que $\alpha_3=-E$ y $\alpha_2=J$, al reemplazar en las expresiones correspondientes, las trayectorias tomarán la forma de las que encontramos en §4.3.