El problema de Kepler

El caso del potencial $U(r)\propto1/r$ es sumamente importante, porque en particular representa el campo gravitatorio universal y el campo coulombiano. Sabemos que las fuerzas serán proporcionales a $1/r^2$, y en este desarrollo nos concentraremos en un campo atractivo $$U(r) =-\frac{\alpha}{r} \qquad (\alpha>0) \;.$$ Vemos que el movimiento puede ser acotado o no, dependiendo del signo de la energía mecánica $E>0\,$: movimiento infinito $E<0\,$: movimiento finito Para este potencial es posible integrar la ecuación de la trayectoria, resultando (ejercicio) $$\phi = \arccos\frac{\displaystyle\frac{J}{r}-\frac{\mu\,\alpha}{J_{ }}}{\sqrt{2\mu E+\displaystyle\frac{\mu^2\alpha^2}{J^2}}} +$$   cte$$\;,$$

de modo que si elegimos el sistema de coordenadas para que la constante se anule cuando $\phi=0$, podemos definir

$$p = \frac{J^2}{\mu\,\alpha}$$   y$$\qquad e = \sqrt{1+\frac{2EJ^2}{\mu\,\alpha^2}}$$

para expresar la trayectoria de manera compacta (ejercicio) como

$$\frac{p}{r} = 1 + e\cos\phi \;.$$

Esta es la ecuación para una sección cónica, donde el parámetro $e$ es la excentricidad y $2p$ se denomina latus rectum de la órbita. En esta expresión el perihelio o periápside, es decir, el punto más próximo al centro, se corresponde con $\phi=0$. Conviene discernir entre las diferentes condiciones que se pueden cumplir entre los parámetros que determinan estas trayectorias. Cuando $\bm{E\!<\!0}$, entonces $e<1$, en cuyo caso la órbita es cerrada y define una elipse como la de la figura. Evidentemente se trata de un movimiento acotado, donde puede mostrarse que los semiejes mayor y menor resultan respectivamente (ejercicios)

$$a = \frac{p}{1-e^2} = \frac{\alpha}{2\,\vert E\vert}$$   (mayor) y$$\qquad b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{J}{\sqrt{2\,\mu\,\vert E\vert}}$$   (menor)$$\;.$$

Vemos que el semieje mayor de las órbitas elípticas depende solamente de $E$, pero no del valor de $J$. Por otro lado, los puntos de retorno de las órbitas elípticas son (ejercicios)

$$r_{\rm m\acute{\i}n} = \frac{p}{1+e} = a(1-e) \;, \qquad r_{\rm m\acute{a}x} = \frac{p}{1-e} = a(1+e) \;,$$

que obtenemos como las raíces de la ecuación $U_{\rm ef} = E$.

El valor mínimo posible para la energía se corresponde con excentricidad $e=0$ (ejercicios)

$$E_{\rm m\acute{\i}n} = - \frac{\mu\alpha^2}{2J^2}$$   (¿por qué?)$$\qquad\Rightarrow\qquad e=0 \;,$$

de manera que la elipse es en realidad una circunferencia. También podemos computar el período de las órbitas de manera directa si recordamos que $J=2\mu\dot{f}\,$ (constante), de manera que al cabo de un período $T$ se completa el barrido del área $f$ de la órbita, es decir $JT=2\mu f\,$; como se trata de una elipse, $f=\pi ab$, de manera que despejamos el período (ejercicio)

$$T = 2\pi a^{3/2} \sqrt{\frac{\mu}{\alpha}} = \pi\alpha\sqrt{\frac{\mu}{2\,\vert E\vert^3}} \;.$$

Notamos que también se cumple que $T$ depende solo de $E$, y no de $J$.

Cuando $\bm{E\!>\!0}$, el movimiento será infinito, y de las expresiones anteriores inferimos que en este caso se cumple $e>1\,$: las trayectorias son hipérbolas con foco en el centro de potencial. En este caso la distancia del perihelio al origen resulta (ejercicio) $$r_{\rm m\acute{\i}n} = \frac{p}{1+e} = a(e-1) \;,$$ mientras que el “semieje” de la hipérbola puede escribirse como $$a = \frac{p}{e^2-1} = \frac{\alpha}{2\,E} \;.$$ Finalmente, cuando $\bm{E\!=\!0}$, la excentricidad se iguala a la unidad, $e=1$, y la trayectoria resulta una parábola, en la que se cumple $$r_{\rm m\acute{\i}n} = \frac{p}{2} \;.$$ El movimiento corresponde a la partícula en reposo para $r=\infty$.