Problema de dos cuerpos: potencial central

Con un procedimiento similar puede obtenerse mucha información para el llamado problema de dos cuerpos: dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$ que se conectan mediante un potencial de interacción que solo depende de la distancia entre ellas. Veremos a continuación que la descripción se simplifica notoriamente separando el centro de masa, para lo cual partimos de la expresión

$$L = \frac{1}{2}m_1\bm{\dot{r}}_1^2 + \frac{1}{2}m_1\bm{\dot{r}}_2^2 - U(\vert\bm{r}_1-\bm{r}_2\vert) \;,$$

donde se evidencia que solo estamos considerando fuerzas de interacción entre las masas $m_1$ y $m_2$ (no existen otras fuerzas). Definiendo

$$\bm{R} \equiv \frac{m_1\bm{r}_1+m_2\bm{r}_2}{m_1+m_2}$$   y$$\qquad \bm{r} \equiv \bm{r}_1-\bm{r}_2$$

podemos expresar

$$\bm{r}_1 = \bm{R}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\bm{r}$$   y$$\qquad \bm{r}_2 = \bm{R}-\frac{m_1}{m_1+m_2}\bm{r} \;,$$

de modo que

$$L = {\color{gray}\frac{1}{2}M\bm{\dot{R}}^2 + }\, \frac{1}{2}\mu\,\bm{\dot{r}}^2 - U(r) \;,$$

donde denotamos $r\!=\!\vert\bm{r}\vert$, $M\!=\!m_1\!+\!m_2\,$ es la masa total del sistema, y definimos la masa reducida como

$$\hspace{8em} \mu\equiv\frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \qquad \left(\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \;.$$

El primer término de la expresión previa corresponde a la energía cinética de traslación del sistema, la que se mantiene constante debido a que no contamos con fuerzas externas al sistema, por lo que resulta irrelevante para nuestra descripción y será omitida de ahora en adelante: esto es equivalente a pensar nuestra descripción desde un sistema inercial que acompaña al centro de masa

$$L = \frac{1}{2}\mu\,\dot{r}^2 - U(r) \;,$$

o lo que es lo mismo, estudiamos la evolución de una partícula de masa $\mu$ descripta mediante el vector posición $\bm{r}$, bajo la acción de un potencial que solo depende de la distancia $r$ al origen de coordenadas, es decir una partícula en un campo central. La fuerza ejercida sobre esta partícula se deriva del potencial

$$\bm{F} = - \frac{\partial U}{\partial\bm{r}} = - \frac{{\rm d}U}{{\rm d}r} \bm{\hat{r}} \;.$$

Como este potencial exhibe simetría bajo rotaciones alrededor de cualquier eje, sabemos que se conserva el momento angular del sistema

$$\bm{J} = \bm{r}\times\bm{p}\; {\color{gray} = \bm{r}\times \mu\,\bm{\dot{r}}} \;,$$

de manera que los vectores $\bm{r}$ y $\bm{p}$ siempre se mantienen normales al vector $\bm{J}$, o lo que es lo mismo, el movimiento se desarrolla en un plano perpendicular a $\bm{J}$. Encaramos nuestra descripción mediante coordenadas polares $r$ y $\phi$, en virtud de las simetrías mencionadas, con lo cual la lagrangiana se escribe

$$L = \frac{1}{2}\mu\left( \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 \right) - U(r) \;.$$

Claramente la coordenada $\phi$ es cíclica, lo que implica que el momento conjugado $p_\phi$ se conserva

$$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = \mu\,r^2\dot{\phi}$$   constante$$\;.$$

Aquí vale la pena hacer un par de aclaraciones. Por un lado, como dijimos en §3.5, $p_\phi$ coincide con la componente $z$ del momento angular $\bm{J}\,$: dado que el movimiento se desarrolla en un plano, donde se encuentran $\bm{r}$ y $\bm{p}$, la única componente no nula del momento angular es justamente $J_z=p_\phi$. Por otro lado, conviene enfatizar que los momentos generalizados no necesariamente representan componentes del vector momento lineal en alguna dirección: justamente, este es el caso cuando las coordenadas generalizadas escogidas son ángulos, de manera que la componente del momento lineal $\bm{p}$ según la dirección de crecimiento de $\phi$ no coincide con $\bm{p}\cdot\bm{\hat{\phi}}$, aunque obviamente están relacionados (¿cómo?).

Podemos interpretar también el momento generalizado $p_\phi$ como proporcional al área barrida por unidad de tiempo en la evolución de la órbita. En efecto, en un intervalo ${\rm d}t$, podemos aproximar el diferencial de área ${\rm d}f\,$ barrido por el vector $\bm{r}\,$ como la del “triángulo” señalado en la figura, es decir,

$${\rm d}f = \frac{1}{2}\,r\;r\,{\rm d}\phi \;,$$

de modo que la velocidad areolar, es decir el área abarcada por unidad de tiempo resulta $$\dot{f} = \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t} = \frac{r^2\dot{\phi}}{2} \qq... ...row\qquad J_z = J\; {\color{gray}\left(=\vert\bm{J}\vert\right)} = 2\mu\dot{f}$$   (2a ley de Kepler)$$\;.$$ Retomando la idea del movimiento en una dimensión, y contemplando la conservación de la energía $E$ además del momento angular $J$ $$E = \frac{1}{2}\mu\left(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2\right) + U(r) ... ...derbrace{\color{black}\frac{J^2}{2\mu r^2}+U(r)}_{\color{gray}U_{\rm ef}}} \;,$$

podemos pensar en un movimiento unidimensional  (ficticio) descripto por la coordenada $r$, y regido por un potencial efectivo

$$U_{\rm ef} = U(r) + \frac{J^2}{2\mu r^2} \;,$$

en el que interviene, además del potencial real $U(r)$, una energía centrífuga (ficticia) $J/(2\mu r^2)$. La velocidad asociada a la coordenada $r\,$ es por lo tanto

$$\dot{r} = \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} = \sqrt{\frac{2}{\mu}[E-U(r)]-\frac{J^2}{\mu^2r^2}} \;,$$

de modo que podemos separar variables como en el caso unidimensional §4.1 (ejercicio)

$$t = \bigintss\!\! \frac{{\rm d}r}{\sqrt{\displaystyle\frac{2}{\mu}[E-U(r)]-\frac{J^2}{\mu^2r^2}}} + \;.$$ (17)

Como $J=\mu r^2\dot{\phi}=\;$ cte, podemos sustituir ${\rm d}\phi=J/(\mu r^2)\,{\rm d}t\,$ en las integrales anteriores, y así arribar a una expresión para la trayectoria (ejercicio)

$$\phi = \int {\rm d}r \frac{J/r^2}{\sqrt{2\mu[E-U(r)]-J^2/r^2}} + \;.$$ (18)

Entonces podemos reproducir el análisis realizado para el movimiento unidimensional en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se cumple

$$U(r^*) + \frac{J^2}{2\mu {r^*}^2}\, {\color{gray}\big(= U_{\rm ef}(r^*)\big)} = E$$

encontramos los puntos de retorno, que deben considerarse con precaución, ya que la condición anterior implica que $\dot{r}=0$, aunque no necesariamente $v^2=\dot{r}^2{\color{Maroon}+\,r^2\dot{\phi}^2}=0$: cuando el momento angular $J=\mu r^2\dot{\phi}^2\neq0$, hay una componente transversal no nula en la velocidad de la partícula.

También como en el caso del movimiento unidimensional, dependiendo de la relación entre $U_{\rm ef}(r)$ y del valor de $E$, el movimiento puede resultar infinito o acotado. En el caso en que resulte finito, las órbitas no necesariamente serán cerradas: para que ello cumpla es necesario computar que el desplazamiento angular entre los puntos de retorno $$\Delta\phi=2\int_{r_{\rm m\acute{\i}n}}^{r_{\rm m\acute{a}x}} {\rm d}r \frac{J/r^2}{\sqrt{2\mu[E-U(r)]-J^2/r^2}} \;,$$ y verificar que en algún giro se cierra la trayectoria, es decir, debe cumplirse $$\Delta\phi = \frac{m}{n}\,2\pi \;, \qquad m,n \in \mathbb{N} \;.$$

De este modo, al cabo de $n$ períodos la masa $\mu$ retoma el recorrido que ya ha transitado. Si bien no lo demostraremos aquí, vale la pena notar que solo hay dos campos centrales que admiten órbitas cerradas: un campo proporcional a $1/r$ y un campo proporcional a $r^2$. En breve estudiaremos el primero de ellos con cierto detalle, mientras que el segundo caso constituye un oscilador armónico tridimensional.

Como la energía centrífuga diverge cerca $r\to0$ (obviamente cuando $J\neq0$)

$$\frac{J^2}{2\mu r^2} \stackrel[r\to0]{}{\to} \infty \;,$$

en general no es posible la caída al centro del potencial. Dado que siempre debe valer la desigualdad

$$E \ge U_{\rm ef}(r) = U(r) + \frac{J^2}{2\mu r^2} \;,$$

para que ocurra la caída al centro debe cumplirse que (ejercicio)

$$r^2\,U(r) \stackrel[r\to0]{}{{}<~} -\frac{J^2}{2\mu} \;.$$

Esto significa que $U\to-\infty$ como $-\alpha/r^2$, donde la constante $\alpha$ cumple $\alpha>J^2/(2\mu)$ , o bien como $-1/r^n$, con $n>2\,$.