Movimiento en una dimensión

Los problemas donde solo interviene un grado de libertad siempre pueden pensarse como movimientos unidimensionales. Tendremos entonces una única coordenada generalizada $q$ para describir el sistema, y cuando la fuerza pueda derivarse de un potencial $U(q)$ podremos escribir

$$L = \frac{1}{2}a(q)\,\dot{q}^2 - U(q) \;,$$

donde $a(q)$ es una función de la coordenada que permite representar adecuadamente la energía cinética. En coordenadas cartesianas esta expresión es muy sencilla

$$L = \frac{1}{2}m\,\dot{x}^2 - U(x) \;,$$

y siempre podemos recurrir a la conservación de la energía

$$E = \frac{1}{2}m\,\dot{x}^2 + U(x) \;.$$

De este modo, contamos con una ecuación diferencial que en principio permite integrar la función de movimiento $x(t)$: en efecto, identificando

$$\dot{x} = \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \sqrt{\frac{2[E-U(x)]}{m}} ... ...uad t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int\frac{{\rm d}x}{\sqrt{E-U(x)}} + {\rm cte} \;.$$

Podemos pensar que tanto la constante aditiva como la energía son las dos constantes de integración surgidas de la ecuación diferencial de segundo orden que habíamos encontrado mediante el principio de Hamilton, o las leyes de Newton. En estas expresiones se evidencia que el movimiento podrá ocurrir siempre que $E>U(x)$. Los valores de $x$ para los cuales $U(x)=E$ son puntos de retorno, donde sabemos que se cumple $v=\dot{x}=0$. En general, el movimiento unidimensional puede ser infinito, o bien finito, como en el caso de la figura con algún valor inicial $x_1<x<x_2$. Claramente, en una dimensión, un movimiento finito implica un movimiento oscilatorio entre esos dos valores extremos $x_1$ y $x_2$: el período de oscilación $T$ puede calcularse a partir de la expresión anterior:

$$\hspace{6em} T = \sqrt{2m} \int_{\scalebox{.9}{$x_1(E)$}}^{\scale... ...(x)}} \hspace{4em} \scalebox{.85}{\color{gray}(ida y vuelta: $2\times$)} \;.$$

Por ejemplo, en el caso de un péndulo simple de masa $m$ y largo $\ell$, podemos elegir nuestra coordenada como el apartamiento angular $\phi$ desde la vertical, y si las oscilaciones tienen amplitud $\phi_o$,

$$E = \frac{1}{2}m\ell^2\dot{\phi}^2 - mg\ell\cos\phi = -mg\ell\cos\phi_o \;,$$

de manera que (ejercicio)

$$\qquad T = 4\,\sqrt{\frac{\ell}{2g}} \int_{0}^{\phi_o} \frac{{\rm... ...{gray}\scalebox{.9}{$\big(\cos\phi=1-2\operatorname{sen}^2(\phi/2)\big)$}} \;.$$

Mediante la sustitución $\operatorname{sen}\xi=\operatorname{sen}(\phi/2)/\operatorname{sen}(\phi_o/2)$, podemos recurrir a la integral elíptica completa de primera especie

$$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{{\rm d}\xi}{\sqrt{1-k^2\operatorname{sen}^2\xi^2}}$$

para arribar a la expresión

$$T = 4\,\sqrt{\frac{\ell}{g}} K\left(\operatorname{sen}\frac{\phi_o}{2}\right) \,.$$

En el caso de pequeñas oscilaciones puede aproximarse $\operatorname{sen}(\phi_o/2)\approx\phi_o/2$, y de la expansión de $K$ para $k$ pequeños resulta

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\left( 1 + \frac{\phi_o^2}{16} + ... \right)$$