Funciones de movimiento

Para el caso de órbitas elípticas, es decir con $E<0,\;e<1$, podemos retomar la expresión (17) para escribir

$$t = \sqrt{\frac{\mu}{2\,\vert E\vert}} \bigintss \frac{r\; {\rm ... ...qrt{\frac{\mu\,a}{\alpha}} \int \frac{r\; {\rm d}r}{\sqrt{a^2e^2-(r-a)^2}} \;.$$

Mediante la sustitución $r-a=-ae\cos\xi$ obtenemos (ejercicio)

$$t = \sqrt{\frac{\mu\,a^3}{\alpha}} (\xi-e\,\operatorname{sen}\xi) +$$   cte$$\;,$$

donde podemos elegir $t=0$ para que la cte $=0$. Esto significa que puede utilizarse la parametrización

$$r = a(1-e\cos\xi) \;, \qquad t=\sqrt{\frac{\mu\,a^3}{\alpha}}(\xi-e\,\operatorname{sen}\xi) \;,$$

mediante la cual la partícula pasa por el perihelio ( $r_{\rm m\acute{\i}n}$) en $t=0$. Las coordenadas cartesianas pueden expresarse de manera directa si elegimos los ejes como en la figura anterior, resultando (ejercicio)

$$x = a (\cos\xi-e) \;, \qquad y = a \sqrt{1-e^2}\operatorname{sen}\xi \;.$$

De aquí queda claro que una revolución se completa cuando $\xi$ recorre valores entre 0 y $2\pi$.

Para $E>0$, es decir cuando ocurren trayectorias hiperbólicas, cálculos análogos a los anteriores nos conducen a

$$r = a(e\cosh\xi-1) \;, \qquad t=\sqrt{\frac{\mu\,a^3}{\alpha}}(e\,{\mathrm{senh}}\xi-\xi) \;,$$

de manera que el parámetro $\xi$ varía de $-\infty$ a $+\infty$, y

$$x = a (e-\cosh\xi) \;, \qquad y = a \sqrt{1-e^2}{\mathrm{senh}}\xi \;.$$