Autovectores, transformaciones unitarias, representación matricial

Un vector $\vert\psi\rangle\,$ es autovector de $\hat{A}\,$ cuando existe $\lambda\neq 0\,$ de modo que

$$\hat{A}\vert\psi\rangle = \lambda\vert\psi\rangle \;;$$

$\lambda\,$ es el autovalor asociado al autovector $\vert\psi\rangle$, y en general es un número complejo. Obviamente, $\vert\psi\rangle\,$ será también autovector de $\hat{A}^n$, así como de cualquier función $f(\hat{A})$, cumpliéndose que $f(\hat{A})\vert\psi\rangle = f(\lambda)\vert\psi\rangle$.

Cuando $\hat{A}\,$ es hermitiano, todos sus autovalores son reales^e, y para diferentes autovalores los correspondientes autovectores son ortogonales (ejercicios). Asimismo, los autovectores de un operador hermitiano definen una base ortonormal, que permite expandir todo el espacio de Hilbert sobre el que actúa. En esa base, el operador $\hat{A}\,$ es diagonal, y los elementos de la diagonal son precisamente los autovalores.

Si dos operadores hermitianos $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmutan y $\hat{A}\,$ es no degenerado, cada autovector de $\hat{A}\,$ también es autovector de $\hat{B}$; esto implica que existe una base de autovectores comunes a $\hat{A}\,$ y $\hat{B}$.

Un cambio de base, como sabemos, se lleva adelante mediante un operador unitario $\hat{U}$, que por definición es aquel cuya inversa coincide con su adjunto:

$$\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1} \Rightarrow \hat{U}\,\hat{U}^\dagger = \hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{I} \;.$$

✓ Ejercicio: Si $\hat{U}\,$ y $\hat{V}\,$ son unitarios, el producto $\hat{U}\,\hat{V}\,$ también lo es.
✓ Ejercicios: Demuestre que los autovalores de un operador unitario $\hat{U}\,$ son números complejos de módulo 1. Si $\hat{U}\,$ no es degenerado, muestre también que sus autovectores son ortogonales.

También es directo demostrar que las transformaciones unitarias conservan el producto escalar

$$\langle \hat{U}\psi \vert \hat{U}\phi \rangle = \langle \psi \vert \phi \rangle \;,$$

y por lo tanto conservan también la norma, es decir $\Vert\hat{U}\psi\Vert=\Vert\psi\Vert$. Las transformaciones unitarias nos permiten describir cualquier vector como $\vert\psi'\rangle=\hat{U}\vert\psi\rangle$, o bien $\langle\psi'\vert=\langle\psi\vert\hat{U}^\dagger$. Si un operador lineal arbitrario $\hat{A}\,$ asocia al vector $\vert\psi\rangle\,$ otro $\vert\phi\rangle\,$ según

$$\hat{A}\vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle \;,$$

para representarlo ($\hat{A}'$) al aplicar la transformación unitaria $\hat{U}\,$ y, notando análogamente $\vert\phi'\rangle=\hat{U}\vert\phi\rangle$, debe cumplirse

$$\hat{A}'\vert\psi'\rangle=\vert\phi'\rangle \;;$$

es decir,

$$\hat{A}'\,\hat{U}\vert\psi\rangle = \hat{U}\vert\phi\rangle = \hat{U}\hat{A}\vert\psi\rangle \qquad \forall \vert\psi\rangle \in {\cal H} \;,$$

de modo que

$$\hat{A}'\,\hat{U}=\hat{U}\hat{A} \qquad\Leftrightarrow\qquad \hat{A}'=\hat{U}\hat{A}\,\hat{U}^\dagger \;.$$

En particular, si un operador $\hat{A}\,$ es hermitiano, el correspondiente $\hat{A}'\,$ también lo será (ejercicio); es decir, las variables dinámicas se transforman correspondientemente con nuestro cambio en el punto de referencia. Es fácil ver también que los autovalores de $\hat{A}'\,$ serán los mismos que los de $\hat{A}\,$ (otro ejercicio), es decir

$$\hat{A}\vert\psi_n\rangle = \lambda_n\vert\psi_n\rangle \; \Right... ...si_n'\rangle \qquad (\,\vert\psi_n'\rangle = \hat{U}\vert\psi_n\rangle\,) \;.$$

Mediante transformaciones unitarias se conserva también cualquier elemento de matriz (ejercicio):

$$\langle\psi'\vert\hat{A}'\vert\phi'\rangle = \langle\psi\vert\hat{A}\vert\phi\rangle \;.$$

(Afortunadamente, utilizando $\hat{A}$=$\hat{I}\,$ recuperamos la conservación del producto escalar.) En virtud de que

$$\left( \hat{U}\hat{A}\,\hat{U}^\dagger \right)^n = \hat{U}\hat{A}^n\,\hat{U}^\dagger \;,$$

cualquier función que involucre operadores se transformará análogamente

$$f(\hat{A}') = \hat{U} f(\hat{A})\,\hat{U}^\dagger \;.$$

Todo esto implica que una transformación unitaria no cambia nuestra descripción de la física de un sistema, sino que ofrece una descripción equivalente, cambiando solo nuestro punto de vista.