Transformaciones infinitesimales

A partir de un parámetro real $\varepsilon\,$ pequeño y un operador hermitiano $\hat{G}\,$ podemos construir una transformación unitaria infinitesimal

$$\hat{U}_\varepsilon(\hat{G}) = \hat{I} + i\varepsilon\hat{G} \;.$$

Es fácil demostrar que esta transformación es efectivamente unitaria si el generador de la transformación infinitesimal $\hat{G}\,$ es hermitiano, pues

$$\hat{U}_\varepsilon\,\hat{U}_\varepsilon^\dagger = \left(\hat{I}... ...simeq \hat{I} + i\varepsilon\left(\hat{G}-\hat{G}^\dagger\right) = \hat{I} \;.$$

Una transformación unitaria finita de magnitud $\alpha\,$ puede pensarse como una sucesión de $N\,$ transformaciones infinitesimales de magnitud $\varepsilon=\alpha/N$:

$$\hat{U}_\alpha(\hat{G}) = \lim_{N\to\infty} \prod_{k=1}^N \left(... ...fty} \left(\hat{I}+i\frac{\alpha}{N}\hat{G}\right)^N = e^{i\alpha\hat{G}} \;.$$

O sea que $\hat{G}\,$ es también el generador de la transformación unitaria finita con parámetro $\alpha$. Como en toda transformación unitaria, podemos utilizar este $\hat{U}_\alpha\,$ para transformar cualquier operador $\hat{A}\,$ con el procedimiento habitual $\hat{A}'=e^{i\alpha\hat{G}}\hat{A}\,e^{-i\alpha\hat{G}}$. Claramente, cuando $\hat{A}\,$ y $\hat{G}\,$ conmutan, $\hat{A}'=\hat{A}$.