Representación matricial

Como en cualquier espacio vectorial, expresamos los vectores de estado en términos de una base ortonormal $\{\vert\phi_n\}\,$ (en este caso, discreta), es decir, $\vert\psi\rangle =\sum_n a_n\,\vert\phi_n\rangle$. En la notación de Dirac, la condición de ortonormalización se escribe

$$\langle\phi_n\vert\phi_m\rangle = \delta_{n,m}$$   (delta de Kronecker)$$\:,$$

de modo que

$$\left\vert \psi \right\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\vert\ph... ...hi_n \right\rangle \left\langle \phi_n \right\vert\right) \vert\psi\rangle \;.$$

Obtenemos así la condición de cierre o completitud en esta base, que nos permite escribir el operador identidad como

$$\hat{I} = \sum_{n=1}^{\infty} \vert\phi_n\rangle \langle\phi_n\vert \;.$$

Esto coincide con la representación habitual de vectores columna en el espacio de Hilbert

$$\vert\psi\rangle = \left(\!\! \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdo... ...\vdots \\ \langle\phi_n\vert\psi\rangle\\ \vdots \end{array}\!\! \right) \;,$$

mientras que los bra $\langle\psi\vert\,$ del espacio dual son vectores fila

$$\langle\psi\vert = \bigl(\langle\psi\vert\phi_1\rangle,\langle\p... ...t\phi_n\rangle,\cdots\bigr) = \left(a_1^*,a_2^*,\cdots,a_n^*,\cdots\right) \;.$$

También recuperamos así la notación familiar para el producto escalar con $\vert\phi\rangle=\sum b_n\vert\phi_n\rangle$

$$\langle\psi\vert\phi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^* b_n \;,$$

y la condición de normalización para $\vert\psi\rangle\,$ se escribe

$$\langle\psi\vert\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} \vert a_n\vert^2 = 1 \;.$$

Análogamente, los operadores se representan como

$$\hat{A} = \bigg(\sum_{n=1}^{\infty} \vert\phi_n\rangle \langle\ph... ...ngle\phi_m\vert = \sum_{n,m} A_{nm} \vert\phi_n\rangle \langle\phi_m\vert \;.$$

Los elementos $A_{mn}\,$ conforman la matriz cuadrada $A\,$ que representa al operador $\hat{A}$

$$A = \left( \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} & \\ ... ..._{32} & A_{33} & \\ \multicolumn{3}{c}{\vdots} & \ddots \end{array} \right)$$

El elemento $n,m\,$ del adjunto de $A\,$ es $\left(A^\dagger\right)_{nm}=A^*_{mn}$. Si $\hat{A}\,$ es hermitiano, $A^*_{mn}=A_{nm}$, o bien $\left(A^T\right)^*=A$.

Los operadores unitarios se representan mediante matrices unitarias, que son aquellas que cumplen $U^{-1}=U^\dagger$. Como siempre, las matrices inversas se obtienen a partir de los cofactores (o cualquier otro método eficiente)

$$\left(A^{-1}\right)_{nm}= \frac{\mbox{cofactor de }A_{mn}}{\det(A)} \;,$$

donde el cofactor de $A_{mn}\,$ es $(-1)^{n+m}\,$ por el determinante de $A\,$ sin la fila $m\,$ y la columna $n$.

También utilizaremos la definición de traza de $\hat{A}$

$${\rm Tr}(\hat{A}) = \sum_n^\infty A_{nn} \;,$$

la cual es obviamente independiente de la base empleada, ya que la propiedad ${\rm Tr}(\hat{A}\hat{B}\hat{C})={\rm Tr}(\hat{B}\hat{C}\hat{A})$, nos permite utilizar cualquier transformación unitaria $\hat{U}\,$ en lugar de $B\,$ y $\hat{U}^\dagger\,$ en lugar de $\hat{C}$.

Mediante esta representación matricial, el problema de autovalores nos lleva a la ecuación característica

$$\det(\hat{A}-\lambda\hat{I}) = 0 \;.$$

El conjunto de autovalores $\{\lambda_n\}\,$ se denomina espectro de $\hat{A}$. Cuando el conjunto de autovectores $\{\vert\phi_n\rangle\}\,$ es completo y ortonormal, puede utilizarse como base para representar el operador $A$, que obviamente tendrá la forma diagonal

$$A = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 & 0 & \\ 0 & \la... ... 0 & \lambda_3 & \\ \multicolumn{3}{c}{\vdots} & \ddots \end{array} \right)$$

En este caso es fácil evaluar $${\rm Tr}(\hat{A}) =\sum_n\lambda_n\,$$ y $$\det(\hat{A})=\prod_n\lambda_n$$ .