Relación de incertidumbre entre dos operadores

A partir de los valores de expectación de dos operadores en un estado $\vert\psi\rangle$,

$$\langle\hat{A}\rangle=\langle\psi\vert\hat{A}\vert\psi\rangle$$   y$$\qquad \langle\hat{B}\rangle=\langle\psi\vert\hat{B}\vert\psi\rangle \;,$$

introducimos los operadores

$$\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A=\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle$$   y$$\qquad \Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B=\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle \;,$$

de modo que podemos evaluar los desvíos cuadráticos medios alrededor de los valores de expectación que resultan (ejercicio)

$$\big\langle\bigl(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A\bigr)^2\big\rangle = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$$   y$$\qquad \big\langle\bigl(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B\bigr)^2\big\rangle = \langle\hat{B}^2\rangle - \langle\hat{B}\rangle^2 \;.$$

Identificamos entonces las incertidumbres en las determinaciones de los observables $A\,$ y $B\,$ como

$$\Delta A = \sqrt{\big\langle\bigl(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65e... ...bigr)^2\big\rangle} = \sqrt{\langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2}$$   y$$\qquad \Delta B = \sqrt{\big\langle\bigl(\Delta\widehat{\rule{0e... ...^2\big\rangle} = \sqrt{\langle\hat{B}^2\rangle - \langle\hat{B}\rangle^2} \;.$$

Podemos utilizar la desigualdad de Schwarz (8) definiendo los kets $\vert\chi\rangle\!=\!\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A\,\vert\psi\rangle\,$ y $\vert\phi\rangle\!=\!\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B\,\vert\psi\rangle$, notando que $\Vert\chi\Vert^2\!=\!\big\langle(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A)^2\big\rangle\,$ (ejercicio), $\Vert\phi\Vert^2\!=\!\big\langle(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B)^2\big\rangle\,$ y $\big\langle\chi\vert\phi\rangle\!=\!\langle(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A)(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B)\big\rangle$, de modo que (8) resulta

$$\big\langle(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A)^2\big\rangle\,\b... ...em}{0.65em}}A)(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B)\big\rangle\right\vert^2 \;.$$ (9)

Teniendo en cuenta que $[\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A,\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B]=[\hat{A},\hat{B}]$, podemos reescribir

$$(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A)(\Delta\widehat{\rule{0em}{0... ...{\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A,\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B\} \;.$$

El primer término es antihermitiano, mientras que el segundo es hermitiano: sus valores de expectación son, respectivamente, imaginario puro y real, de manera que la desigualdad anterior puede escribirse en términos de

$$\left\vert\big\langle(\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A)(\Delta... ...m}{0.65em}}A,\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B\}\big\rangle\right\vert^2 \;,$$

y como $\left\vert\big\langle\{\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}A,\Delta\widehat{\rule{0em}{0.65em}}B\}\big\rangle\right\vert^2\ge0$, sustituyendo $\Delta A\,$ y $\Delta B\,$ en (9) obtenemos

$$\fbox{\ \ \ $(\Delta A)\,(\Delta B) \ge \displaystyle \frac{1}{2}... ...ngle[\hat{A},\hat{B}]\big\rangle\right\vert \rule[-1.75em]{0em}{4.2em} $\ \ \ }$$ (10)

Esta relación resulta sumamente importante, en particular cuando la utilizamos con variables conjugadas como $x\,$ y $p_x$, para las cuales habíamos visto que $[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar \hat{I}$, de modo que

$$\Delta x\, \Delta p_x \ge \frac{1}{2}\,\bigl\vert\langle[\hat{x},\hat{p}_x]\rangle\bigr\vert = \frac{\hbar}{2} \;,$$

recuperando el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Si $f(x)\,$ es una función analítica de la variable $x$, su expansión en serie se escribe

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n \;;$$

del mismo modo definimos

$$f(\hat{A}) = \sum_{n=0}^\infty a_n\,\hat{A}^n \;.$$

Un ejemplo de esto es la definición de la exponencial que involucra un operador

$$e^{b\hat{A}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{b^n}{n!}\hat{A}^n = \hat{I} + b\hat{A} + \frac{b^2}{2!} \hat{A}^2 + \cdots$$

Los conmutadores intervienen también en estas definiciones de funciones de un operador. Por ejemplo, puede demostrarse (ejercicio)

$$[\hat{A},\hat{B}] = 0 \; \Rightarrow \; [\hat{A},f(\hat{B})] = 0 \;.$$

También es simple ver que

$$[\hat{A},f(\hat{A})]=0 \;,\qquad [\hat{A}^n,f(\hat{A})]=0 \;,\qquad [f(\hat{A}),g(\hat{A})]=0 \;.$$

Vale la pena señalar aquí que si $\hat{A}\,$ es hermitiano, $f(\hat{A})\,$ será hermitiano solo cuando $f\,$ sea una función real, pues $[f(\hat{A})]^\dagger=f^*(\hat{A})$.

También es importante notar que en general

$$e^{\hat{A}}\,e^{\hat{B}} \neq e^{\hat{A}+\hat{B}} \;,$$

salvo que $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmuten; de lo contrario, cuando $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmutan con $[\hat{A},\hat{B}]\,$ (ejercicio)

$$e^{\hat{A}}\,e^{\hat{B}} = e^{\hat{A}+\hat{B}}\, e^{[\hat{A},\hat{B}]/2} \;.$$ (11)