Propiedades del producto escalar

Las funciones de onda $\psi(\bm{r},t)\,$ o vectores de estado $\vert\psi(t)\rangle\,$ conforman un espacio de Hilbert, ya que su producto escalar

$$\langle\psi\vert\phi\rangle = \int \,{\rm d}^3 r\; \psi^*\,\phi$$

exige que sean elementos de $L^2$, lo que en nuestro caso está garantizado por la condición de normalización

$$\int \,{\rm d}^3 r\; \bigl\vert\psi\bigr\vert^2 = \Vert\psi\Vert^2 = 1 \;.$$

Como sabemos, cualquier definición de producto escalar implica la desigualdad de Schwarz

$$\bigl\vert \langle\chi\vert\phi\rangle \bigr\vert^2 \le \Vert\chi\Vert^2\,\Vert\phi\Vert^2 \;,$$ (8)

donde la igualdad vale solo cuando $\psi\,$ y $\phi\,$ son linealmente dependientes. También recordamos la desigualdad triangular

$$\Vert \psi+\phi \Vert \le \Vert\psi\Vert+\Vert\phi\Vert \;.$$

Como siempre, dos estados son ortogonales cuando $\langle\psi\vert\phi\rangle=0$. Son ortonormales si además $\Vert\psi\Vert=\Vert\phi\Vert=1$ .