Espacios de Hilbert

Un espacio $\cal H\,$ es un espacio de Hilbert si satisface las siguientes propiedades:

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ es un espacio vectorial lineal.

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ tiene asociado un producto escalar con las siguientes propiedades:

	$\braket{\beta\vert\alpha} = \braket{\alpha\vert\beta}^*$ . Esta notación es equivalente a la que empleábamos en nuestra adolescencia, $(\beta,\alpha)=(\alpha,\beta)^*$. Elegimos ahora la notación de Dirac, muy conveniente en el entorno de la cuántica, en la cual un vector $\ket{\alpha}\,$ de nuestro espacio vectorial $\cal H\,$ se llama ingeniosamente “ket”, mientras que uno $\bra{\beta}$ del espacio dual ${\cal H}_D\,$ se llama “bra”; esta astucia nos permite identificar un producto escalar $\braket{\beta\vert\alpha}$ como un “bra-ket”, superando así el afamado ingenio de los apodos cordobeses.
	Es bilineal: por un lado es lineal en la segunda componente $$\braket{\gamma\vert\,a\,\alpha+b\,\beta} = a\braket{\gamma\vert\alpha} + b\braket{\gamma\vert\beta}$$ y antilineal en la primera $$\braket{ a\,\alpha+b\,\beta\,\vert\gamma} = a^*\braket{\alpha\vert\gamma} + b^*\braket{\beta\vert\,\gamma} \;.$$
	$\braket{\alpha\vert\alpha} = \Vert\alpha\Vert^2 \ge 0\quad \forall\,\ket{\alpha}\in {\cal H}\;$ y $\braket{\alpha\vert\alpha}\!=0$ solo si $\ket{\alpha}=\ket{0}$.

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ es separable: $\forall\,\ket{\alpha} \in {\cal H}$, existe una sucesión de Cauchy $\ket{\psi_n}\in\cal H\,$ ($n$=1,2,3,...) tal que $\forall\,\epsilon>0\,$ al menos uno de los $\ket{\psi_m}\,$ de la sucesión cumple $\Vert\alpha-\psi_m\Vert<\epsilon$ .

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ es completo: toda sucesión de Cauchy $\ket{\psi_n}$ converge dentro de $\cal H$; o sea, la relación $\lim\limits_{n,m\to\infty}\Vert\psi_n-\psi_m\Vert\!=\!0\,$ define un único límite $\ket{\psi}\in\cal H\,$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert\psi-\psi_n\Vert\!=\!0$ .