Espacios de Hilbert

Un espacio $\cal H\,$ es un espacio de Hilbert si satisface las siguientes propiedades:

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ es un espacio vectorial lineal.

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ tiene asociado un producto escalar con las siguientes propiedades:

	$\langle\beta\vert\alpha\rangle = \langle\alpha\vert\beta\rangle^*$ . Esta notación es equivalente a la que empleábamos en nuestra adolescencia, $(\beta,\alpha)=(\alpha,\beta)^*$. Elegimos ahora la notación de Dirac, muy conveniente en el entorno de la cuántica, en la cual un vector $\vert\alpha\rangle\,$ de nuestro espacio vectorial $\cal H\,$ se llama ingeniosamente “ket”, mientras que uno $\langle\beta\vert\,$ del espacio dual ${\cal H}_D\,$ se llama “bra”; esta astucia nos permite identificar un producto escalar $\langle\beta\vert\alpha\rangle\,$ como un “bra-ket”, superando así el afamado ingenio de los apodos cordobeses.
	Es bilineal: por un lado es lineal en la segunda componente $$\langle\gamma\vert a\,\alpha + b\,\beta\rangle = a\,\langle\gamma\vert\alpha\rangle + b\,\langle\gamma\vert\beta\rangle$$ y antilineal en la primera $$\langle a\,\alpha + b\,\beta\vert\gamma\rangle = a^*\,\langle\alpha\vert\gamma\rangle + b^*\,\langle\beta\vert\gamma\rangle \;.$$
	$\langle\alpha\vert\alpha\rangle = \Vert\alpha\Vert^2 \ge 0\quad \forall\,\vert\alpha\rangle\in {\cal H}\;$ y $\,\langle\alpha\vert\alpha\rangle$=0 solo si $\vert\alpha\rangle$=$\vert\rangle$.

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ es separable: $\forall\,\vert\alpha\rangle \in {\cal H}$, existe una sucesión de Cauchy $\vert\psi_n\rangle\in\cal H\,$ ($n$=1,2,3,...) tal que $\forall\,\epsilon>0\,$ al menos uno de los $\vert\psi_m\rangle\,$ de la sucesión cumple $\Vert\alpha-\psi_m\Vert<\epsilon$ .

$^{_\circ}$

 $\cal H\,$ es completo: toda sucesión de Cauchy $\vert\psi_n\rangle$ converge dentro de $\cal H$; o sea, la relación $\lim\limits_{n,m\to\infty}\Vert\psi_n-\psi_m\Vert\!=\!0\,$ define un único límite $\vert\psi\rangle\in\cal H\,$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty}\Vert\psi-\psi_n\Vert\!=\!0$ .