Operadores

Un operador $\hat{A}\,$ es una regla matemática que transforma cada $\,\vert\psi\rangle\in{\cal H}\,$ en $\vert\psi'\rangle=\hat{A}\vert\psi\rangle\in{\cal H}\,$, y cada $\langle\phi\vert\in{\cal H_D}\,$ en $\langle\phi'\vert=\langle\phi\vert\hat{A}\in{\cal H_D}\,$. Un ejemplo es el operador identidad $\hat{I}$, definido mediante la relación $\hat{I}\,\vert\psi\rangle=\vert\psi\rangle$. El operador impulso $\,\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla\,$ es otro ejemplo. Y también el operador paridad, que se define con la identidad $\,\hat{\Pi}\,\psi(\bm{r})=\psi(-\bm{r})\,$.

El producto de dos operadores $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ es asociativo por definición

$$\bigl(\hat{A}\hat{B}\bigr)\,\vert\psi\rangle=\hat{A}\,\bigl(\hat{B}\vert\psi\rangle \bigr)\;.$$

Conviene tener en cuenta que en general, $\hat{A}\hat{B}\neq\hat{B}\hat{A}$.

El elemento de matriz $\langle\phi\vert\hat{A}\vert\psi\rangle\,$ es un número complejo que puede evaluarse como

$$\langle\phi\vert\hat{A}\vert\psi\rangle = \langle\phi\vert\bigl(\... ...rt\psi\rangle\bigr) = \bigl(\langle\phi\vert\hat{A}\bigr)\vert\psi\rangle \;.$$

En particular, para cualquier operador $\hat{A}$, su valor de expectación en el estado $\vert\psi\rangle\,$ es $\langle\hat{A}\rangle=\langle\psi\vert\hat{A}\vert\psi\rangle\,$ (siempre que $\Vert\psi\Vert=1$).

Un operador es lineal si es distributivo y conmuta con escalares

$$\hat{A}\,\bigl(a_1\vert\psi_1\rangle+a_2\vert\psi_2\rangle\bigr) ... ...at{A} = a_1\langle\psi_1\vert\,\hat{A} + a_2\,\langle\psi_2\vert\,\hat{A} \;.$$

El operador adjunto $\hat{A}^\dagger\,$ de $\hat{A}\,$ se define mediante la relación $\langle\psi\vert\hat{A}^\dagger\vert\phi\rangle = \langle\phi\vert\hat{A}\vert\psi\rangle^*$. Pronto veremos que en su representación matricial el adjunto se invoca a menudo como transpuesto conjugado; cada vez que conjuguemos una expresión reemplazaremos cada escalar $a\,$ por su conjugado $a^*$, un operador $\hat{A}\,$ por su adjunto $\hat{A}^\dagger$ y cada ket $\vert\psi\rangle\,$ por el correspondiente bra $\langle\psi\vert$ (y viceversa). De acuerdo a estas pautas se cumple

$$\bigl(\hat{A}^\dagger\bigr)^\dagger = \hat{A}\rule{1.2em}{0em}$$

$$\rule{0.5em}{0em}\bigl(\hat{A}^\dagger\bigr)^n = \bigl(\hat{A}^n\bigr)^\dagger$$

$$\bigl(\hat{A}+\hat{B}\bigr)^\dagger = \hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger$$

$$\bigl(\hat{A}\hat{B}\bigr)^\dagger = \hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger$$

$$(\bigl\vert\psi\rangle\langle\phi\vert\bigr)^\dagger = \vert\phi\rangle\langle\psi\vert\rule{0.7em}{0em}$$

A menudo utilizaremos la notación $\vert\hat{A}\psi\rangle\equiv\hat{A}\vert\psi\rangle\,$ y $\langle\hat{A}\psi\vert\equiv\langle\psi\vert\hat{A}^\dagger$, por ejemplo al escribir el elemento de matriz $\langle\psi\vert\hat{A}\vert\phi\rangle = \langle\psi\vert\hat{A}\phi\rangle = \langle\hat{A}^\dagger\psi\vert\phi\rangle$ .

Un operador es hermitiano cuando $\langle\psi\vert\hat{A}\phi\rangle=\langle\hat{A}\psi\vert\phi\rangle\;\;\forall\, \left\vert \psi \right\rangle ,\left\vert \phi \right\rangle \in\cal H\,$, o lo que es equivalente cuando $\hat{A}^\dagger\left\vert \psi \right\rangle =\hat{A}\left\vert \psi \right\rangle \;\;\forall\left\vert \psi \right\rangle \in\cal H\,$. Un operador es antihermitiano cuando $\langle\psi\vert\hat{B}\phi\rangle=-\langle\hat{B}\psi\vert\phi\rangle\;\;\forall\, \left\vert \psi \right\rangle ,\left\vert \phi \right\rangle \in\cal H\,$, o bien $\hat{B}^\dagger\left\vert \psi \right\rangle =-\hat{B}\left\vert \psi \right\rangle \;\;\forall\left\vert \psi \right\rangle \in\cal H\,$.^d

Un proyector $\hat{P}\,$ es un operador hermitiano e idéntico a su cuadrado

$$\hat{P}^\dagger = \hat{P}$$   y$$\qquad \hat{P}^2 = \hat{P} \;.$$

El operador identidad $\hat{I}\,$ es un ejemplo sencillo de proyector. Es fácil ver que $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\,$ es un proyector (siempre que $\Vert\psi\Vert=1$). Además, la suma de proyectores ortogonales, es decir, construidos con kets ortonormales, también es un proyector (ejercicio).

El conmutador de $\hat{A}\,$ con $\hat{B}\,$ se define como

$$[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \;,$$

y el anticonmutador, como

$$\{\hat{A},\hat{B}\} = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} \;.$$

Obviamente los operadores $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmutan si $\hat{A}\hat{B}$= $\hat{B}\hat{A}$, o equivalentemente $[\hat{A},\hat{B}]$=0. Además claramente cualquier operador $\hat{A}\,$ conmuta consigo mismo, es decir, $[\hat{A},\hat{A}]$=0. Si el producto de dos operadores hermitianos $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ también es hermitiano, entonces conmutan:

$$\hat{A}\hat{B} = \bigl(\hat{A}\hat{B}\bigr)^\dagger = \hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger =\hat{B}\hat{A} \;.$$

Un ejemplo interesante de conmutadores es el correspondiente a los operadores posición $\hat{x}\,$ y momento $\hat{p}_x$= $-i\hbar\partial/\partial x\,$ (lo mismo para las otras componentes); para ellos puede verificarse (ejercicio) que

$$[\hat{x},\hat{p}_x] = [\hat{y},\hat{p}_y] = [\hat{z},\hat{p}_z] = i\hbar\hat{I} \;.$$

Muchas propiedades de los conmutadores pueden mostrarse a partir de su definición, entre ellas:

$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$         (antisimetría);
$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]$         (linealidad);
$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}]^\dagger=[\hat{B}^\dagger,\hat{A}^\dagger]\,$;
$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$,          $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$        (distributividad);
$^{_\circ}$	$[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]=0$         (identidad de Jacobi).