Operadores

Un operador $\hat{A}\,$ es una regla matemática que transforma cada $\,\ket{\psi}\in{\cal H}\,$ en $\ket{\psi'}=\hat{A}\ket{\psi}\in{\cal H}\,$, y cada $\bra{\phi}\in{\cal H_D}\,$ en $\bra{\phi'}=\bra{\phi}\hat{A}\in{\cal H_D}\,$. Un ejemplo es el operador identidad $\hat{I}$, definido mediante la relación $\hat{I}\,\ket{\psi}=\ket{\psi}$. El operador impulso $\,\hat{\bm{p}}=-i\hbar\nabla\,$ es otro ejemplo. Y también el operador paridad $\,\hat{\Pi}\,$, que se define con la identidad $\,\hat{\Pi}\,\psi(\bm{r})=\psi(-\bm{r})\,$.

El producto de dos operadores $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ es asociativo por definición

$$\bigl(\hat{A}\hat{B}\bigr)\,\ket{\psi}=\hat{A}\,\bigl(\hat{B}\ket{\psi} \bigr)\;.$$

Conviene tener en cuenta que en general, $\hat{A}\hat{B}\neq\hat{B}\hat{A}$.

El elemento de matriz $\bra{\phi}\hat{A}\ket{\psi}\,$ es un número complejo que puede evaluarse como

$$\bra{\phi}\hat{A}\ket{\psi} = \bra{\phi}\bigl(\hat{A}\ket{\psi}\bigr) = \bigl(\bra{\phi}\hat{A}\bigr)\ket{\psi} \;.$$

En particular, para cualquier operador $\hat{A}$, su valor de expectación en el estado $\ket{\psi}\,$ es $\langle\hat{A}\rangle=\braket{\psi\vert\hat{A}\vert\psi}\,$ (siempre que $\Vert\psi\Vert=1$).

Un operador es lineal si es distributivo y conmuta con escalares

$$\hat{A}\,\bigl(a_1\ket{\psi_1}+a_2\ket{\psi_2}\bigr) = a_1\,\hat... ...i_2}\bigr)\,\hat{A} = a_1\bra{\psi_1}\,\hat{A} + a_2\bra{\psi_2}\,\hat{A} \;.$$

El operador adjunto $\hat{A}^\dagger\,$ de $\hat{A}\,$ se define mediante la relación $\braket{\psi\vert\hat{A}^\dagger\vert\phi} = \braket{\phi\vert\hat{A}\vert\psi}^*$. Pronto veremos que en su representación matricial el adjunto se invoca a menudo como transpuesto conjugado; cada vez que conjuguemos una expresión reemplazaremos cada escalar $a\,$ por su conjugado $a^*$, un operador $\hat{A}\,$ por su adjunto $\hat{A}^\dagger$ y cada ket $\ket{\psi}$ por el correspondiente bra $\bra{\psi}$ (y viceversa). De acuerdo a estas pautas se cumple

$$\bigl(\hat{A}^\dagger\bigr)^\dagger = \hat{A}\rule{1.2em}{0em}$$

$$\rule{0.5em}{0em}\bigl(\hat{A}^\dagger\bigr)^n = \bigl(\hat{A}^n\bigr)^\dagger$$

$$\bigl(\hat{A}+\hat{B}\bigr)^\dagger = \hat{A}^\dagger+\hat{B}^\dagger$$

$$\bigl(\hat{A}\hat{B}\bigr)^\dagger = \hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger$$

$$(\ket{\psi}\bra{\phi}\bigr)^\dagger = \ket{\phi}\bra{\psi}\rule{0.7em}{0em}$$

A menudo utilizaremos la notación $\vert\hat{A}\psi\rangle\equiv\hat{A}\ket{\psi}\,$ y $\langle\hat{A}\psi\vert\equiv\bra{\psi}\hat{A}^\dagger$, por ejemplo al escribir el elemento de matriz $\braket{\psi\vert\hat{A}\vert\phi} = \braket{\psi\vert\hat{A}\vert\phi} = \braket{\hat{A}^\dagger\psi\,\vert\,\phi}$ .

Un operador es hermitiano cuando $\langle\psi\vert\hat{A}\phi\rangle=\langle\hat{A}\psi\ket{\phi}\;\;\forall\, \ket{\psi},\ket{\phi}\in\cal H\,$, o lo que es equivalente cuando $\hat{A}^\dagger\ket{\psi}=\hat{A}\ket{\psi}\;\;\forall\ket{\psi}\in\cal H\,$. Un operador es antihermitiano cuando $\langle\psi\vert\hat{B}\phi\rangle=-\langle\hat{B}\psi\ket{\phi}\;\;\forall\, \ket{\psi},\ket{\phi}\in\cal H\,$, o bien $\hat{B}^\dagger\ket{\psi}=-\hat{B}\ket{\psi}\;\;\forall\ket{\psi}\in\cal H\,$.^d

Un proyector $\hat{P}\,$ es un operador hermitiano e idéntico a su cuadrado

$$\hat{P}^\dagger = \hat{P}$$   y$$\qquad \hat{P}^2 = \hat{P} \;.$$

El operador identidad $\hat{I}\,$ es un ejemplo sencillo de proyector. Es fácil ver que $\ket{\psi}\langle\psi\vert\,$ es un proyector (siempre que $\Vert\psi\Vert=1$). Además, la suma de proyectores ortogonales, es decir, construidos con kets ortonormales, también es un proyector (ejercicio).

El conmutador de $\hat{A}\,$ con $\hat{B}\,$ se define como

$$[\hat{A},\hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \;,$$

y el anticonmutador, como

$$\{\hat{A},\hat{B}\} = \hat{A}\hat{B} + \hat{B}\hat{A} \;.$$

Obviamente los operadores $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmutan si $\hat{A}\hat{B}$= $\hat{B}\hat{A}$, o equivalentemente $[\hat{A},\hat{B}]$=0. Además claramente cualquier operador $\hat{A}\,$ conmuta consigo mismo, es decir, $[\hat{A},\hat{A}]$=0. Si el producto de dos operadores hermitianos $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ también es hermitiano, entonces conmutan:

$$\hat{A}\hat{B} = \bigl(\hat{A}\hat{B}\bigr)^\dagger = \hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger =\hat{B}\hat{A} \;.$$

Un ejemplo interesante de conmutadores es el correspondiente a los operadores posición $\hat{x}\,$ y momento $\hat{p}_x$= $-i\hbar\partial/\partial x\,$ (lo mismo para las otras componentes); para ellos puede verificarse (ejercicio) que

$$[\hat{x},\hat{p}_x] = [\hat{y},\hat{p}_y] = [\hat{z},\hat{p}_z] = i\hbar\hat{I} \;.$$

Muchas propiedades de los conmutadores pueden mostrarse a partir de su definición, entre ellas:

$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]$         (antisimetría);
$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}]$         (linealidad);
$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}]^\dagger=[\hat{B}^\dagger,\hat{A}^\dagger]\,$;
$^{_\circ}$	$[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]$,          $[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]+[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}$        (distributividad);
$^{_\circ}$	$[\hat{A},[\hat{B},\hat{C}]]+[\hat{B},[\hat{C},\hat{A}]]+[\hat{C},[\hat{A},\hat{B}]]=0$         (identidad de Jacobi).

Las potencias de un operador permiten extender definiciones correspondientes a escalares. Si $f(x)\,$ es una función analítica de la variable $x$, su expansión en serie se escribe

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n \;;$$

del mismo modo definimos

$$f(\hat{A}) = \sum_{n=0}^\infty a_n\,\hat{A}^n \;.$$

Un ejemplo de esto es la definición de la exponencial que involucra un operador

$$e^{b\hat{A}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{b^n}{n!}\hat{A}^n = \hat{I} + b\hat{A} + \frac{b^2}{2!} \hat{A}^2 + \cdots$$

Los conmutadores intervienen también en estas definiciones de funciones de un operador. Por ejemplo, puede demostrarse (ejercicio)

$$[\hat{A},\hat{B}] = 0 \; \Rightarrow \; [\hat{A},f(\hat{B})] = 0 \;.$$

También es simple ver que

$$[\hat{A},f(\hat{A})]=0 \;,\qquad [\hat{A}^n,f(\hat{A})]=0 \;,\qquad [f(\hat{A}),g(\hat{A})]=0 \;.$$

Vale la pena señalar aquí que si $\hat{A}\,$ es hermitiano, $f(\hat{A})\,$ será hermitiano solo cuando $f\,$ sea una función real, pues $[f(\hat{A})]^\dagger=f^*(\hat{A})$.

También es importante notar que en general

$$e^{\hat{A}}\,e^{\hat{B}} \neq e^{\hat{A}+\hat{B}} \;,$$

salvo que $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmuten; de lo contrario, cuando $\hat{A}\,$ y $\hat{B}\,$ conmutan con $[\hat{A},\hat{B}]\,$ (ejercicio)

$$e^{\hat{A}}\,e^{\hat{B}} = e^{\hat{A}+\hat{B}}\, e^{[\hat{A},\hat{B}]/2} \;.$$ (9)