Potencial periódico: modelo de Kronig-Penney

Los sólidos se conforman usualmente en redes periódicas o cristales: los núcleos atómicos se ordenan respetando cierta estructura periódica. El potencial periódico generado por los iones resultantes impone condiciones de simetría sobre las soluciones para las autofunciones de un electrón sujeto a este potencial regular dentro de la red. El caso de una red unidimensional puede resolverse realizando hipótesis simplificativas, a pesar de las cuales pueden explicarse diversas propiedades de los sólidos, como la conductividad eléctrica.

Si el período de la estructura unidimensional es $\ell\,$, el hamiltoniano $\hat{H}\,$ será invariante ante traslaciones en $\ell$, pues

$$V(x+\ell) = V(x) \;.$$ (19)

Naturalmente surge la pregunta acerca de qué implica esta propiedad sobre las autofunciones para el hamitoniano. Veamos primero cómo se generan las traslaciones espaciales o desplazamientos. Para ello recordemos que las “traslaciones” temporales se generan a través de $\hat{H}$; a la misma conclusión podemos llegar recordando que un operador unitario infinitesimal siempre se escribe como $\hat{U}_\varepsilon(\hat{G}) = \hat{I} + i\,\varepsilon\,\hat{G}\,$. Para la evolución temporal la ecuación de Schrödinger (13)

$$i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t}\!\!{\rule{0em}{0.8em}}^{\displaystyle \vert\psi(t)\rangle} = \hat{H} \vert\psi(t)\rangle$$

nos permite escribir $\vert\psi(t+\delta t)\rangle$ para un incremento pequeño $\delta t$

$$\vert\psi(t+\delta t)\rangle = \hat{U}_{\delta t}\, \vert\psi(t)\... ...ft( \hat{I} -i\,\delta t\,\frac{\hat{H}}{\hbar}\right) \vert\psi(t)\rangle \;,$$

de modo que el generador de traslaciones temporales es $-\hat{H}/\hbar\,$. Una traslación finita en $t\,$ está dada entonces por

$$\hat{U}_t = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}} \,,$$

tal como habíamos obtenido anteriormente. Del mismo modo, un desplazamiento infinitesimal en el espacio está representado por (en la base coordenada)

$$\psi(x+\delta x) = \hat{U}_{\delta x}\, \psi(x) = \psi(x) + \del... ...eft( \mbox{pues}\quad \hat{p}_x=-i\hbar\,\frac{\partial~}{\partial x}\right) .$$

El generador de desplazamientos es entonces $\hat{p}_x/\hbar\,$, y una traslación finita en $\ell\,$ se asocia con

$$\hat{U}_\ell = e^{\frac{\mbox{\scriptsize $i\ell$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{p}_x} \,.$$

Como cualquier operador unitario, sus autovalores $\lambda_\ell\,$ tienen módulo 1; denotamos entonces estos autovalores como $\lambda_\ell=\exp(i\beta\ell)$.

En el caso de un potencial periódico (19), es directo verificar que $[\hat{U}_\ell,\hat{H}]\!=\!0$, por lo que pueden elegirse autofunciones $\psi(x)$ comunes a ambos operadores. Definiendo

$$u(x) = e^{-i\beta x}\psi(x) \;,$$

vemos que

$$u(x+\ell) = e^{-i\beta(x+\ell)}\,\psi(x+\ell) = \hat{U}_\ell\,u(x... ...ell)}\,\hat{U}_\ell\,\psi(x) = e^{-i\beta(x+\ell)}\,e^{i\beta\ell}\,\psi(x)\;,$$

donde utilizamos el hecho de que escogimos $\psi(x)$ para que también sea autofunción de $\hat{U}_\ell\,$. Reemplazando $\psi(x)$ en términos de $u(x)$ vemos que

$$u(x+\ell) = u(x) \;,$$

es decir, $u(x)$ es periódica. Este resultado es conocido como teorema de Bloch: las autofunciones de $\hat{H}\,$ asociadas con un potencial periódico de período $\ell\,$ siempre pueden escribirse como

$$\psi(x) = e^{i\beta x}\,u(x) \;,$$   con$$\qquad u(x+\ell)=u(x) \;.$$

 

El modelo de Kronig-Penney para un cristal unidimensional consiste en una sucesión de barreras o pozos como las de las secciones precedentes. Este potencial tiene entonces un período $\ell\!=\!2(a$+$b)$, y si bien es posible utilizar el formalismo matricial introducido anteriormente, elegimos aquí escribir respectivamente las soluciones en los valles y en los picos (o lomas) como

 

$$\left\{ \begin{array}{lcr} \psi_v(x) = A_n\,e^{ikx} + B_n\,e^{-... ..._n\,e^{-iqx} && -a+n\ell<x<a+n\ell~~ \;.\rule{0em}{1.5em} \end{array} \right.$$

Para encontrar las componentes periódicas $u_v(x)\,$ y $u_p(x)\,$ en cada tramo reescribimos

$$\left\{ \begin{array}{lcr} \psi_v(x) = e^{i\beta x} \left[ A_o\... ...)x} + D_o\,e^{-i(q+\beta)x} \right] \;,\rule{0em}{1.5em} \end{array} \right.$$

de modo que $u(x)\,$ debería expresarse como

$$u(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} u_v(x) = A_o\,e^{i(k-\beta)x}... ...(q-\beta)x} + D_o\,e^{-i(q+\beta)x} \;.\rule{0em}{1.5em} \end{array} \right.$$

Imponiendo las condiciones de continuidad en $\psi(-a)\,$ y en $\psi'(-a)$, y periodicidad para $u(-a$+ $2b)\!=\!u(a)$ y $u'(-a$+ $2b)\!=\!u'(a)$ se obtienen 4 ecuaciones con 4 incógnitas ($A_o$, $B_o$, $C_o\,$ y $D_o$); la solución no trivial se garantiza si

$$\det\left( \begin{array}{cccc} e^{-ika} & e^{ika} & -e^{-iqa} &... ...a)a} & (q+\beta)e^{-i(q+\beta)a}\rule{0em}{1.5em} \end{array} \right) = 0 \;,$$

que conduce a la condición

$$\cos(\beta\ell) = \cos(2qa) \cos(2kb) - \frac{k^2+q^2}{2kq} \sen (2qa) \sen (2kb) \;.% \rule{15em}{0em}$$

Claramente el miembro de la derecha no siempre tendrá valor absoluto menor que 1, por lo que habrá valores de $E\,$ ($q\,$ y $k\,$) que no están permitidos. Así es como los estados permitidos para $E\,$ se agrupan en bandas, separadas por brechas de energías no permitidas. Las más importantes son la última, llamada banda de conducción, y la penúltima, la banda de valencia. Los electrones que ocupan la banda de conducción se mueven casi libremente, de manera que cuando un material tiene la banda de valencia totalmente ocupada y la banda de conducción a medio llenar, al aplicar una diferencia de potencial es posible conducir carga con cierta libertad: en ese caso, el material es conductor eléctrico. Por el contrario, cuando la banda de valencia está completamente ocupada y la banda de conducción se encuentra vacía, las restricciones a la movilidad de los electrones de valencia hace que el material sea aislante. En aquellos casos en que la banda de valencia está totalmente llena y la brecha entre esta banda y la de conducción es

 

pequeña, la agitación térmica puede hacer que algunos electrones pasen de la banda de valencia a la de conducción, de manera que el material se comporta parcialmente como conductor: son los llamados semiconductores.

La adecuada descripción de la estructura de bandas en un sólido cristalino ha permitido numerosos avances, quizás los más notables en la electrónica de estado sólido, que incluye diodos, transistores, memorias de estado sólido, LEDs y láseres basados en semiconductores, incluyendo el desarrollo del LED azul, recientemente merecedor del premio Nobel de física (2014).