Pozo de potencial (y algunas simetrías)

También el potencial

$$V(x) = V_o\, \Theta(\vert x\vert-a)$$

es como una superposición de dos escalones, por lo cual ya conocemos bastante acerca de las soluciones. Antes de avanzar conviene observar que siempre podemos aprovechar las simetrías del problema. Por ejemplo, en este caso el potencial es par, es decir, el hamiltoniano $\hat{H}\,$ es par, con lo cual concluiremos que las soluciones deben tener paridad definida. Para demostrarlo, notemos que un operador $\hat{A}\,$ es par cuando conmuta con el operador paridad $\hat{\cal P}$

 

$$[\hat{{\cal P}},\hat{A}] = 0$$   o bien$$\qquad \hat{\cal P}\hat{A}\,\hat{\cal P} = \hat{A} \;. \rule{6em}{0em}$$

Para demostrar esto primero hay que notar que $\hat{\cal P}\,$ es hermitiano y también unitario (ejercicio). Análogamente, $\hat{B}\,$ es impar cuando el anticonmutador con $\hat{\cal P}\,$ se anula

$$\{\hat{{\cal P}},\hat{B}\} = 0$$   o bien$$\qquad \hat{\cal P}\hat{B}\,\hat{\cal P} = -\hat{B} \;.$$

Es directo verificar que los operadores $\hat{\bm{p}}\,$ y $\hat{\bm{r}}\,$ son impares, pero $\hat{\bm{p}}^2\,$ es par.

Si $\hat{A}\,$ es par, hermitiano y no degenerado comparte autovectores con $\hat{\cal P}$, es decir sus autofunciones tienen paridad definida. En el caso del pozo de potencial, $V(x)\,$ es par

$${\cal P} V(x) = V(-x) = V(x) \;,$$

y por lo tanto $\hat{H}\,$ es par ( $[\hat{{\cal P}},\hat{H}]\!=\!0$). Cuando buscamos soluciones a la ecuación de Schrödinger estacionaria

$$\hat{H} \psi(x) = E\, \psi(x) \;,$$

vemos que al aplicar $\hat{\cal P}\,$ en ambos miembros la paridad de $\hat{H}\,$ nos permite escribir

$$\hat{H} \psi(-x) = E\, \psi(-x) \;,$$

es decir, si $\psi(x)\,$ es una solución asociada al autovalor $E\,$, entonces $\psi(-x)\,$ también lo es. Por consiguiente, cuando $\hat{H}\,$ es par siempre podemos elegir soluciones con paridad definida:

$$\psi_{\rm par}(x)=\psi(x)+\psi(-x) \;,\qquad \psi_{\rm impar}(x)=\psi(x)-\psi(-x)$$   (normalizando adecuadamente)$$\;.$$

En el caso en que no haya degeneración, $\psi(x)\,$ y $\psi(-x)\,$ no son dos soluciones distintas, y seguramente ya tienen paridad definida, por lo que la construcción anterior anulará $\psi_{\rm par}(x)\,$ o $\psi_{\rm impar}(x)\,$.

Otra propiedad importante acerca de las soluciones se desprende del hecho de que $\hat{H}\,$ es hermitiano, pues al conjugar la ecuación de Schrödinger estacionaria obtenemos

$$\hat{H}\psi^*\!(x) = E\, \psi^*\!(x) \;,$$

de donde concluimos que si $\psi(x)\,$ es solución, entonces $\psi^*\!(x)\,$ también es solución para la misma autoenergía $E\,$ (real). Entonces siempre podemos elegir soluciones reales:

 

$$\psi(x)+\psi^*(x) \;,$$   y$$\qquad \left[\psi(x)-\psi^*(x)\right]/i$$ (en cualquier sistema físico). Volviendo al caso del pozo de potencial, podemos analizar por separado las soluciones pares e impares. Aprovechando además lo que sabíamos de otros potenciales constantes a tramos, y teniendo presente que tanto $\psi\,$ como $\psi'\,$ deben ser continuas, la energía más baja (menor $k\,$) provocará menos oscilaciones, por lo cual no tiene nodos: el estado fundamental $\psi_1\,$ es entonces par. A medida que crezca el autovalor de energía (es decir, $k$) el número de oscilaciones será mayor, y por lo tanto el número de nodos, como se muestra cualitativamente en la figura. Vemos que un análisis cualitativo permite predecir muchas cosas acerca de los autoestados para nuestro sistema. En general, para un potencial cualquiera como el de la figura, los estados con $E\,$ menor que el mínimo valor de $V\,$ no son posibles, ya que a partir de la ecuación de Schrödinger (18) vemos que si $\psi\,$ y $\psi''\,$ poseen el mismo signo la solución no puede estar adecuadamente normalizada. Por encima de ese valor mínimo, las soluciones para la ecuación de Schrödinger independiente de $t\,$ con autoenergías $E_1\,$ menores que ambas asíntotas de $V(x)\,$ (para $x\to\pm\infty$) corresponden a estados ligados (asociados con los puntos de retorno clásico), es decir so-

 

luciones confinadas a una región finita del espacio; a partir de la teoría para ecuaciones en derivadas parciales, sabemos que estas soluciones corresponden a un conjunto discreto de energías: el espectro correspondiente a estados ligados es discreto y no degenerado. Por otro lado, el estado fundamental o de mínima energía no tendrá nodos (ceros de $\psi\,$); y como en el ejemplo del pozo de potencial, a medida que crece la energía aparecerá un número mayor de nodos.

Los estados no ligados en cambio presentan un espectro continuo. Esta será la situación cuando $E\!>\!V_1\,$: en este caso el movimiento se dará en un “semi-infinito”, hacia valores negativos de $x\,$, si $E\!<\!V_2\,$ y no acotado en ambas direcciones cuando $E\!>\!V_2\,$. Además habrá posibles reforzamientos en las reflexiones o transmisiones impuestas por cada variación en $V(x)\,$; en el caso de la onda transmitida estos reforzamientos dan origen a las llamadas resonancias, y el caso del pozo de potencial es un excelente ejemplo de esto. Para analizarlo, volvamos entonces al análisis del caso $E\!>\!V_o$, al que habitualmente se alude como “dispersión”, ya que parte de la onda incidente es reflejada por esta estructura de potencial y otra parte la atraviesa. Para estos estados no ligados podemos aprovechar la solución que ya teníamos para la barrera de potencial cambiando el cero de las energías e invirtiendo el potencial. Nuevamente, para el caso de una onda incidente desde la izquierda (tomando nuestro coeficiente $G\!=0\!$), para el coeficiente de transmisión obtenemos

$$\vert S(E)\vert^2 = \frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{4}\left(\frac{q}{k}-\frac{k}{q}\right)^2\sen ^2(2qa)} \;,$$

donde $k\!=\!\sqrt{2m(E-V_o)}/\hbar\,$ (fuera del pozo) y $q\!=\!\sqrt{2mE}/\hbar\,$ (adentro). Reemplazando podemos reescribir

 

$$\vert S(E)\vert^2 = \frac{1}{1+\displaystyle\frac{\sen ^2(2qa)}{\displaystyle 4\left(\frac{E}{V_o}-1\right)\frac{E}{V_o}}} \;.$$ Como esperábamos, $0\!\le\!\vert S(E)\vert^2\!\le\!1$, pero además vemos que cuando $2qa\!=\!n\pi$, resulta $\vert S(E)\vert^2\!=\!1$, es decir, hay 100% de transmisión. Este fenómeno es el que se conoce como resonancia, y según cuáles sean las características del pozo ($V_o\,$ y $a$), la forma de la curva de la figura puede variar. Un caso límite de un pozo de potencial es $$V(x) = -W\,\delta(x) \;,$$

 

y consiste en una aproximación utilizada frecuentemente cuando la región afectada por el potencial es sumamente reducida. El análisis previo sigue valiendo, aunque en este caso el salto que tendrá $\psi''\,$ ya no será finito, lo que implica que $\psi'\,$ presentará una discontinuidad. Claramente las soluciones para este problema siguen siendo ondas planas, o exponenciales decrecientes si hay estados ligados, y para ajustar el empalme en $x\!=\!0$ reescribimos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

$$\psi''(x) + \frac{2mW}{\hbar^2}\,\delta(x)\,\psi(x) + \frac{2mE}{\hbar^2}\,\psi(x) = 0 \;.$$

Integrando en un intervalo $[-\varepsilon,\varepsilon]\,$ pequeño alrededor de $x\!=\!0$

$$\int_{-\varepsilon}^\varepsilon \,{\rm d}x\; \psi''(x) + \int_{-... ... \int_{-\varepsilon}^\varepsilon \,{\rm d}x\; \frac{2mE}{\hbar^2}\,\psi(x) = 0$$

podemos encontrar una condición sobre el salto para $\psi'\,$, que aparecerá en el primer miembro, mientras que en el límite de $\varepsilon\to0\,$ el último término se anula en virtud de la continuidad de $\psi\,$

$$\left[\psi_{+}'(0)-\psi_{-}'(0)\right] + \frac{2mW}{\hbar^2}\,\psi(0) = 0 \;.$$