Barrera de potencial

 

El potencial que rige el movimiento de la partícula en este caso es $$V(x) = V_o\, \Theta(a-\vert x\vert) \;.$$ Aunque se trata solo de sumar simétricamente dos escalones como los de la sección anterior, veremos que esta situación en cuántica tiene una inesperada relevancia. Como antes, hay dos situaciones diferentes según la relación entre $E\,$ y $V_o$; nos concentramos solo en el caso $E<V_o$.

 

Aquí también esperamos que en el caso clásico una partícula incidente desde la izquierda retorne sin poder penetrar la barrera. Para analizar qué ocurre en la cuántica, escribimos las soluciones de manera similar a las del pozo de potencial de la sección anterior, tomando definiciones análogas para $k\,$ y $\gamma\,$:

$$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{ccl} A\,e^{ikx} + B\,e^{-ikx} &... ...} && \vert x\vert<a \\ F\,e^{ikx} + G\,e^{-ikx} && ~x>a \end{array} \right.$$

Nuevamente planteamos la continuidad para $\psi\,$ y $\psi'\,$ en $x\!=\!-a\,$:

$$\begin{array}{c} A\,e^{-ika}+B\,e^{ika} = C\,e^{\gamma a} + D\,e... ...e^{-ika}-B\,e^{ika}) = -\gamma\,(C\,e^{\gamma a}-D\,e^{-\gamma a}) \end{array}$$

que puede escribirse como

$$\left( \begin{array}{c} A\\ B \end{array} \right) = M(-a) \left( \begin{array}{c} C\\ D \end{array}\right) \;,$$

donde

$$M(-a) = \frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} \displaystyle \left(... ...yle \left(1+\frac{i\gamma}{k}\right) e^{-\gamma a-ika} \end{array}\right) \;.$$

Del mismo modo, el empalme en $x\!=\!a\,$ puede escribirse

$$\left( \begin{array}{c} F\\ G \end{array} \right) = M(a) \left( \begin{array}{c} C\\ D \end{array}\right) \;,$$

que resulta en

donde $\varepsilon=\displaystyle\frac{\gamma}{k}-\frac{k}{\gamma}\;$ y $\eta=\displaystyle\frac{\gamma}{k}+\frac{k}{\gamma}\,$.

Nuevamente analizamos el caso de partículas incidentes desde la izquierda haciendo $G\!=\!0$, de manera que

$$A = F \left[\cosh(2\gamma a)+\frac{i\varepsilon}{2}\senh(2\gamma a)\right] e^{2i\gamma a}$$   y$$\qquad B = F \left(-\frac{i\eta}{2}\right) \senh(2\gamma a) \;.$$

De aquí se define la amplitud de transmisión

$$S(E) \equiv \frac{F}{A} = \frac{e^{-2i\gamma a}}{\cosh(2\gamma a) + \displaystyle \frac{i\varepsilon}{2}\senh(2\gamma a)} \;,$$

de donde se obtiene el coeficiente de transmisión

$$\vert S(E)\vert^2 = \frac{1}{1+\left(1+\displaystyle\frac{\varepsilon^2}{4}\right)\senh^2(2\gamma a)} \;.$$

Este coeficiente representa la probabilidad de “tunelamiento”, y como vemos en general es distinto de cero, de manera que aun con energías inferiores a $V_o\,$ la partícula puede atravesar la barrera de potencial, dependiendo de cuánto vale su energía en relación a la barrera, y de cuán ancho sea este obstáculo.

El efecto túnel no tiene correlación con analogías en la clásica, y se pone de manifiesto en barreras de 1 a 3 nm, e incluso menos. Entre los numerosos ejemplos donde se evidencia este efecto podemos citar los decaimientos radiactivos con emisión de partículas $\alpha$; los dispositivos electrónicos llamados diodos de tunelamiento; las mutaciones espontáneas del ADN, originadas en un tunelamiento de protones en un doble pozo de potencial; la emisión fría de electrones a partir de la aplicación de un campo eléctrico intenso, que se aprovecha en la construcción de cañones eficientes para microscopios electrónicos de barrido o transmisión; y este fenómeno también dio lugar al microscopio de barrido por efecto túnel (STM, scanning tunnelling microscope), en el que una punta recorre la superficie conductora de un material variando su altura para mantener constante la corriente de electrones que participan del tunelamiento, proveyendo imágenes en las que se individualizan los átomos de ese material.