La partícula libre

Queremos ahora resolver algunos problemas simples en una dimensión. Sabemos que el desafío es encontrar soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que en la base coordenada puede escribirse

$$\psi''(x) = -\frac{2m}{\hbar^2} \left[E-V(x)\right]\,\psi(x) \;.$$ (18)

Para el caso de la partícula libre, es decir $V(x)\!=\!0$, sabemos que las soluciones son ondas planas, y los autovalores del hamiltoniano

$$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$

forman un continuo, ya que no hay ninguna restricción extra sobre ellos. La expresión general para la autofunción asociada con esta energía es

$$\psi_k(x) = A_{+}\, e^{ikx} + A_{-}\, e^{-ikx} \;,$$

donde las constantes arbitrarias $A_{\pm}\,$ dependerán de las condiciones de contorno específicas. Recordemos que cada una de estas autofunciones puede evolucionar en el tiempo de acuerdo con (14)

$$\Psi_k(x,t) = \psi_k(x)\, e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $iE$}}{\mbo... ..., e^{i(kx-\omega t)} + A_{-}\, e^{-i(kx+\omega t)} \qquad (\omega=E/\hbar) \;.$$

El estado de la partícula está representado entonces por una onda plana que se propaga hacia la derecha con amplitud $A_{+}\,$ más otra que se propaga hacia la izquierda con amplitud $A_{-}\,$. Vale la pena notar que cada una de estas ondas representa una probabilidad $\vert\Psi_{\pm}(x,t)\vert^2=\vert A_{\pm}\vert^2\!=$ constante $\forall\, x,t\,$: en cualquier instante tenemos la misma probabilidad de que pase cada una de estas funciones de onda, no importa en qué coordenada $x\,$ realicemos nuestra observación. Esto refleja el hecho de que al imaginar $p\,$ (o $k$) perfectamente determinado, la coordenada $x\,$ queda absolutamente indeterminada, como predecía el principio de incertidumbre de Heisenberg; análogamente, si tenemos la energía de la partícula perfectamente definida, tenemos absoluta incertidumbre acerca del instante en que pasa por una posición determinada. Recordando además que las ondas planas no estaban adecuadamente normalizadas, vemos que las soluciones físicamente aceptables son los paquetes de onda

$$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \,{\rm d}k\; \phi(k)\, e^{i(kx-\omega t)} \;,$$

donde $\phi(k)\,$ es la transformada de Fourier de $\Psi(x,0)$. Como vimos antes, estos paquetes de onda sí están adecuadamente normalizados; por otro lado, en este caso hay imprecisiones en $k\,$ (o en $p\,$) y en $x$, tal como habíamos discutido previamente.