Momento angular orbital

Para el caso específico del momento angular orbital $\hat{\bm{L}}$= $-i\hbar\,\hat{\bm{r}}\times\nabla\,$ asociado con la traslación de una partícula, en muchos casos resulta conveniente escribir los operadores en coordenadas esféricas. Como sabemos, el operador $\nabla\,$ en términos de las coordenadas $r,\theta\,$ y $\varphi\,$ se escribe

$$\nabla = \hat{\bm{e}}_r \frac{\partial~}{\partial r} + \hat{\bm{... ...bm{e}}_{\varphi} \frac{1}{r\,\sen \theta}\frac{\partial~}{\partial\varphi} \;,$$

de manera que las componentes del momento angular resultan (ejercicio)

$$\hat{L}_x = i\hbar\left(\displaystyle \sen \varphi\frac{\partial~}{\partial\theta} + \cos\varphi \cotg \theta\frac{\partial~}{\partial\varphi}\right) \;,$$

$$\hat{L}_y = i\hbar\left(\displaystyle -\cos\varphi\frac{\partial~}{\partial\theta} + \sen \varphi \cotg \theta\frac{\partial~}{\partial\varphi}\right) \;,$$

$$\hat{L}_z = -i\hbar\displaystyle \frac{\partial~}{\partial\varphi}\;.$$ (31)

Por otro lado

$$\hat{L}_\pm=\hbar\,e^{\pm i\varphi} \left(\pm\frac{\partial~}{\partial\theta} + i\cotg \theta\frac{\partial~}{\partial\varphi}\right)$$

y

$$\hat{L}^2 = -\hbar^2 \left[\frac{1}{\sen \theta}\frac{\partial~}{... ...ht) + \frac{1}{\sen ^2\theta}\frac{\partial^2~}{\partial\varphi^2}\right] \;.$$

Como vemos, $\hat{L}_z\,$ y $\hat{L}^2\,$ operan sobre las coordenadas angulares $\theta\,$ y $\varphi\,$. Sugestivamente, llamamos $Y_{\ell}^m\,$ a las componentes de los autovectores $\vert\ell,m\rangle\,$ de estos operadores en la base $(\theta,\varphi)$

$$Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) \equiv \langle\theta,\varphi\vert\ell,m\rangle \;.$$

Las ecuaciones de autovalores entonces se escriben

$$\hat{L}^2\,Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) = \hbar^2 \ell(\ell+1)\,Y_... ...\theta,\varphi) = -\ell(\ell+1)\,Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) \rule{0em}{2em}\;$$

y

$$\hat{L}_z\,Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) = m\hbar\,Y_{\ell}^m(\theta... ...{\ell}^m(\theta,\varphi) = im\,Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) \;. \rule{8em}{0em}$$

La forma de estas ecuaciones sugiere la separación $Y_{\ell}^m(\theta,\varphi)$= $Q(\theta)\,F(\varphi)\,$, obteniendo directamente la solución parcial

$$F(\varphi)=e^{im\varphi}$$

con la condición de continuidad y univaluación para la función de onda, lo que se traduce en la condición de periodicidad $F(\varphi$+$2\pi)$= $F(\varphi)$, de modo que $m\,$ solo puede ser entero; como además sabemos que $m=-\ell,-\ell+1,\dots,\ell-1,\ell\,$, concluimos que también $\ell\,$ debe ser un entero (no negativo). Sustituyendo este resultado para $F(\varphi)\,$ en la ecuación de autovalores para $\hat{L}^2\,$ obtenemos la conocida ecuación diferencial de Legendre

$$\left[\frac{1}{\sen \theta}\frac{\partial~}{\partial\theta} \lef... ...a}\right) - \frac{m^2}{\sen ^2\theta} +\ell(\ell+1)\right]\,Q(\theta) = 0 \;,$$

cuyas soluciones $Q(\theta)$= $P_{\ell}^m(\cos\theta)\,$ son las funciones asociadas de Legendre

$$P_{\ell}^m(x) = \left(1-x^2\right)^{\vert m\vert/2} \frac{\,{\rm d}^{\vert m\vert}P_\ell(x)}{\,{\rm d}x^{\vert m\vert}}$$   o bien$$\qquad P_{\ell}^m(\cos\theta) = \frac{(-1)^\ell}{2^\ell\,\ell!}... ...rt m\vert}(\sen ^{2\ell}\theta)}{\,{\rm d}(\cos\theta)^{\ell+\vert m\vert}}\;,$$

definidas a partir de los añorados polinomios de Legendre (fórmula de Rodrigues)

$$P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell\,\ell!}\frac{\,{\rm d}^\ell(x^2-1)^\e... ...!} \frac{\,{\rm d}^\ell(\sen ^{2\ell}\theta)}{\,{\rm d}(\cos\theta)^\ell} \;.$$

Estos polinomios tienen paridad definida

$$P_\ell(-x) = (-1)^\ell\, P_\ell(x) \;,$$

y la relación de cierre o completitud de los $P_\ell\,$ se escribe

$$\frac{1}{2}\sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) P_\ell(x')\,P_\ell(x) = \delta(x-x') \;.$$

Los primeros de ellos son

$$\begin{array}{lll} P_o(x)=1 \;, & \displaystyle P_2(x)=\fra... ...5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)\;.\rule{0em}{2em} \end{array}$$

A menudo utilizamos diferentes relaciones de recurrencia, por ejemplo,

$$\begin{array}{l} (\ell+1)\,P_{\ell+1}(x) = (2\ell+1)\,x\,P_... ...{\ell-1}(x) - x\,P_\ell(x)\Bigr] \;.\rule{0em}{2em} \end{array}$$

Las $P_{\ell}^m(\cos\theta)\,$ ($m$$>0$) son polinomios de orden ($\ell$$-m$) en $\cos\theta$, multiplicados por $\sen ^m\theta$, y tienen $(\ell$$-m)\,$ raíces reales en el intervalo $[-1,1]$. También tienen paridad definida

$$P_{\ell}^m(-x) = (-1)^{\ell+m}\, P_{\ell}^m(x) \;,$$

y satisfacen la relación

$$\int_{-1}^{+1} \,{\rm d}x\; P_{\ell}^m(x) \, P_{\ell'}^m(x) = \frac{2}{2\ell+1}\frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!}\,\delta_{\ell,\ell'} \;.$$

Es fácil ver que

$$P_{\ell}^0(x)=P_\ell(x) \;;\qquad P_{\ell}^{\ell}=(2\ell-1)!!\,(1-x^2)^{\ell/2} \;.$$

Retomando la expresión para la solución de las autofunciones para $\hat{L}_z\,$ y $\hat{L}^2\,$

$$Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) = C_{\ell m}\,P_{\ell}^m(\cos\theta)\,e^{im\varphi} \;,$$

resta hallar la constante $C_{\ell m}\,$ imponiendo la condición de normalización

$$\int_0^{2\pi} \,{\rm d}\varphi \int_0^\pi \,{\rm d}\theta\; \sen ... ...ight]^*\, Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) = \delta_{\ell',\ell}\,\delta_{m',m} \;.$$

Dejando los detalles como ejercicio, encontramos $C_{\ell m}\,$ y sustituimos en la expresión anterior, de modo que la expresión final para los armónicos esféricos $Y_{\ell}^m(\theta,\varphi)\,$ resulta

$$Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}\, P_{\ell}^m(\cos\theta)\,e^{im\varphi} \;.$$

Partiendo de la relación de completitud de los $\vert\ell,m\rangle\,$

$$\sum_{\ell=0}^\infty\sum_{m=-\ell}^{m=+\ell} \vert\ell,m\rangle\langle\ell,m\vert = \hat{I}\;,$$

podemos buscar el elemento de matriz $\theta,\varphi;\theta',\varphi'\,$ como es habitual, proyectando hacia la derecha sobre $\vert\theta',\varphi'\rangle\,$ y hacia la izquierda sobre $\langle\theta,\varphi\vert\,$, obteniendo

$$\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^{m=+\ell} Y_{\ell}^m(\theta,... ...* = \frac{1}{\sen \theta}\, \delta(\theta-\theta')\,\delta(\varphi-\varphi')$$

(en algunos textos el miembro de la derecha se condensa como $\delta(\hat{\bm{e}}_r-\hat{\bm{e}}_r')\,$).

Con estos elementos podemos demostrar el teorema aditivo (ejercicio)

$$\sum_{m=-\ell}^{m=+\ell} Y_{\ell}^m(\theta,\varphi)\, \left[Y_{\ell}^{m}(\theta',\varphi')\right]^* = \frac{2\ell+1}{4\pi}P_\ell(\cos\alpha) \;,$$

donde $\alpha\,$ es el ángulo entre las direcciones $(\theta,\varphi)\,$ y $(\theta',\varphi')\,$, es decir $\cos\alpha$= $\cos\theta\,\cos\theta'$+ $\sen \theta\,\sen \theta'\cos(\varphi-\varphi')\,$. Además es directo mostrar la relación

$$Y_{\ell}^{-m}(\theta,\varphi)=(-1)^m\left[Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi)\right]^*\;,$$

y también que los armónicos esféricos son autofunciones del operador paridad con autovalor $(-1)^\ell\,$

$$\hat{{\cal P}}Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) = Y_{\ell}^m(\pi-\theta,\varphi+\pi) = (-1)^\ell\, Y_{\ell}^m(\theta,\varphi) \;.$$