Método WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)

Este método se aplica cuando intervienen potenciales que varían lentamente con las coordenadas: los autovalores de $\hat{H}\,$ son grandes como para que la longitud de onda asociada a la partícula sea mucho menor que las distancias a lo largo de las cuales el potencial cambia notoriamente. La idea esencial entonces es extender las soluciones de una partícula en un potencial $V(x)\,$ constante, que conocemos explícitamente. Por un lado, si $E\!>\!V\,$ tendremos

$$\psi(x) = A_\pm e^{\pm ikx} \;,$$   con$$\quad k=\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar} \;.$$

Cuando $V\,$ es constante la longitud de onda de de Broglie de la partícula $\lambda\!=\!2\pi/k\,$ es constante, pero cuando $V\,$ cambia lentamente (poco a lo largo de varias $\lambda$) es razonable pensar que $\psi(x)\,$ sigue siendo “casi sinusoidal”. En el caso $E\!<\!V\,$ las soluciones para $V\,$ constante son exponenciales

$$\psi(x) = B_\pm e^{\pm\gamma x} \;,$$   con$$\quad \gamma=\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} \;.$$

Nuevamente, si $V\,$ es casi constante, $\psi(x)\,$ será “casi exponencial”.

Introducimos entonces la forma general para la función de onda en 3 dimensiones

$$\psi(\bm{r}) = A(\bm{r}) \, e^{\frac{\mbox{\scriptsize $i\,S(\bm{r})$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}} \;,$$

donde $A\,$ representa la amplitud y $S\,$ la fase de $\psi$; en el límite $V(\bm{r})\,$= cte, $A\,$= cte y $S\,$ es lineal con $\bm{r}\,$ (ondas planas o exponenciales lineales). Considerando que se trata de correcciones pequeñas a la descripción de partícula libre entonces seguimos pensando que $A\,$ es casi constante y que $S\,$ es casi lineal, es decir incluye términos no lineales poco importantes. Con esta forma para $\psi\,$ la ecuación de Schrödinger separa la parte real y la imaginaria como

$$\left\{ \begin{array}{l} (\nabla S)^2 = 2m [E-V(\bm{r})] + \dis... ...2 S = 2\, \nabla S \cdot \nabla (\ln A) \rule{0em}{1.8em} \end{array} \right.$$

El último término de la primera igualdad es pequeño, por un lado porque esperamos que las variaciones relativas de $A\,$ no sean importantes, y además porque este es el único término acompañado por $\hbar^2$, de manera que podemos despreciarlo frente a los otros.

En una dimensión estas ecuaciones se vuelven

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\,{\rm d}S}{\,{\rm... ...{}^{\displaystyle \sqrt{2m[E-V(x)]}} = 0 \rule{0em}{2em} \end{array} \right.$$

De la primera ecuación obtenemos

$$S(x) = \pm\int \!\,{\rm d}x'\; \sqrt{2m[E-V(x')]} \;,$$

y combinando ambas igualdades podemos escribir (ejercicio)

$$\frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x} \left( \frac{1}{2} \ln\frac{\,{\rm ... ... \ln A \right) = 0 \Rightarrow A = \frac{C}{\sqrt{\,{\rm d}S/\,{\rm d}x}} \;,$$

donde $C\,$ es una constante. Sustituyendo en la expresión para $\psi$

$$\psi(x) = \sum_{\pm} \frac{C_{\pm}}{\sqrt{p(x)}} \, \exp{\left(\... ...r}\int \!\,{\rm d}x'\; p(x')\right)} \qquad p(x) \equiv \sqrt{2m[E-V(x)]} \;.$$

Como sabemos, $p(x)\,$ es el impulso clásico; es decir, $\vert\psi\vert\propto 1/\sqrt{p}\,$, de manera que la densidad de probabilidad

$$\vert\psi\vert^2 \propto \frac{1}{p} \;,$$

exactamente como en el caso clásico, donde la probabilidad de hallar a una partícula en alguna posición es inversamente proporcional a la velocidad con que pasa por allí.

Si tomamos uno de los términos de la suma anterior, vemos que la solución general es oscilatoria cuando $E\!>\!V(x)$, ya que $p(x)\,$ es real; por el contrario, cuando $E\!<\!V(x)$, es decir en la región prohibida en la clásica, $p(x)\,$ es imaginario y las soluciones son exponenciales reales. Aunque todo parece simple, en los puntos de retorno clásicos $E\!-\!V(x)\!=\!0$, por lo cual $p(x)\,$ se anula y por lo tanto la expresión anterior para $\psi\,$ diverge. Volviendo a la ecuación de Schrödinger en términos de $A\,$ y $S\,$ (completa) vemos que las condiciones que impusimos (a partir de $V\,$ “casi constante”) implican

$$\color[rgb]{0.25,0,0} % MEJORAR ESTO, EN EL BOHM ARRANCA UNA MEJO... ...m d}x} \left( \frac{\hbar}{\,{\rm d}S/\,{\rm d}x}\right) \right\vert \ll 1 \;,$$

Como $\,{\rm d}S/\,{\rm d}x=\pm p(x)$, esta condición puede escribirse en términos de la longitud de onda de de Broglie

$$\delta\lambda = \frac{\,{\rm d}\lambda}{\,{\rm d}x} \textcolor[rg... ...\,{\rm d}~}{\,{\rm d}x} \!\!\left( \frac{h}{p(x)}\right) \right\vert \ll 1 \;,$$

lo cual evidentemente no puede cumplirse cerca de los puntos de retorno: la aproximación resulta razonable solo “lejos” de estos puntos. Para conectar las soluciones es necesario resolver la ecuación de Schrödinger en la vecindad de los puntos de retorno aproximando $V\,$ por una recta. Para el caso en que $V$ $\neq\infty\,$ (no hay paredes rígidas) nos concentramos en los estados ligados para un pozo de potencial como el de la figura. En el interior del pozo, indicado como (2), las soluciones serán oscilatorias porque $p(x)\,$ allí es real.

Aproximando cerca de $x_2\,$ $$V(x) = V(x_2) + (x-x_2)\,V'(x_2) = E + (x-x_2)\,F_2 \;,$$ donde la constante $F_2\!=\!V'(x_2)\,$ representa el valor absoluto de la fuerza sobre la partícula en el punto de retorno clásico. La ecuación de Schrödinger resulta entonces $$\psi''(x) - \frac{2mF_2}{\hbar^2} (x-x_2)\,\psi(x) = 0\;;$$ sustituyendo $y=\displaystyle \left(\frac{2mF_2}{\hbar^2}\right)^{1/3}\!\!(x-x_2)\,$ resulta $$\left(\frac{2mF_2}{\hbar^2}\right)^{2/3} \left[ \frac{\,{\rm d}^2\psi(y)}{\,{\rm d}y^2} - y\,\psi(y) \right] = 0 \;,$$

 

cuyas soluciones son las funciones de Airy, las cuales pueden representarse como

   Ai$$\,(y) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \,{\rm d}t\; \cos\left(\frac{t^3}{3}+ty\right) \;.$$

Omitiendo detalles, la función de onda en el interior del pozo cerca de $x_2\,$ resulta

$$\psi_2(x) = \frac{\tilde{C}_2}{\sqrt{p(x)}}\, \sen \left(\frac{1}{\hbar}\int_{x}^{x_2} \,{\rm d}x'\;p(x')+\frac{\pi}{4}\right) \;;$$

del mismo modo, cerca de $x_1\,$ la función de onda se aproxima como

$$\psi_2(x) = \frac{C_2}{\sqrt{p(x)}}\, \sen \left(\frac{1}{\hbar}\int_{x_1}^x \,{\rm d}x'\;p(x')+\frac{\pi}{4}\right) \;.$$

Para que coincidan estas expresiones notemos que son de la forma

$$\tilde{C}_2\, \sen \tilde{\theta} = C_2\, \sen \theta \;,$$

de modo que debe cumplirse

$$\vert\tilde{C}_2\vert = \vert C_2\vert$$   y$$\quad \theta+\tilde{\theta}=(n+1)\pi \qquad \to \qquad \tilde{C}_2 = (-1)^n C_2 \;,$$

es decir

$${\color{gray}\left(\theta+\tilde{\theta}-\frac{\pi}{2}=\right)}\q... ...2}\,{\rm d}x'\;p(x') = \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi \;, \qquad n=0,1,2,\dots$$

Si integramos a lo largo de un período, es decir agregamos el regreso de $x_2\,$ a $x_1$, vemos que los estados permitidos para el sistema deben cumplir

$$\oint \,{\rm d}x\; p(x) = \left(n+\frac{1}{2}\right)h \;,$$

que es muy parecido a la regla de Bohr-Sommerfeld, excepto por la energía del estado fundamental ($n\!=\!0$). Un resultado por el que pugnan la estupefacción y el éxtasis.