Estados de incertidumbre mínima - Coherencia (Schwabl, Cohen, Merzbacher)

Habíamos visto en la sección 3.4 que dados dos observables $A\,$ y $B\,$ y cualquier estado $\psi$, se cumple la relación (11)

$$(\Delta A)\,(\Delta B) \ge \displaystyle \frac{1}{2}\left\vert\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle\right\vert$$

mediante la desigualdad de Schwarz

$$\Vert\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\Vert^2_\psi\; \Vert\hat{B}-\la... ...\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle\big) \big\vert\psi \big\rangle \right\vert^2 \,,$$

donde la igualdad vale solo si

$$\big(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle\big)\,\vert\psi\rangle = \gamma\, \big(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\big)\,\vert\psi\rangle\;.$$ (22)

Además cuando desarrollamos esto en §3.4, teníamos

$$\Vert\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\Vert^2_\psi\; \Vert\hat{B}-\la... ...frac{1}{4}\left\vert\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle\right\vert^2 \;,$$

donde habíamos despreciado el primer término de la derecha. Es decir que para tener un estado con mínima incertidumbre debe cumplirse (22) y también

$$\big\langle\big\{\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle, \hat{B}-\langle\... ...\; \big\vert\, \big(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\big)\,\psi\,\big\rangle \;.$$

Sustituyendo (22) podemos simplificar cada término

$$\begin{array}{l} \big\langle\,\big(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle... ...le = \displaystyle\frac{1}{\gamma}(\Delta B)^2 \rule{0em}{2em}\;. \end{array}$$

Al sumar estas identidades obtenemos el valor de expectación del anticonmutador $\bigl\langle\{\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle,\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle\}\bigr\rangle\,$ y al restar evaluamos $\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle$

$$\begin{array}{l} \gamma\,(\Delta A)^2 + \displaystyle\frac{1}{\g... ...^2 = \bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle \rule{0em}{2em}\;, \end{array}$$

de donde despejamos el valor de $\gamma\,$ que nos provee la condición que debe cumplirse para la incertidumbre mínima

$$\fbox{\ \ \ $\gamma = \displaystyle \frac{\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle}{2(\Delta A)^2} \rule[-1.75em]{0em}{4.2em} $\ \ \ }$$

Tomando $\hat{A}=\hat{x}\,$ y $\hat{B}=\hat{p_x}\,$, en la base coordenada la condición (22) para el estado $\ket{\psi_{\rm mi}}\,$ de mínima incertidumbre se convierte en

$$\left(-i\hbar\frac{\,{\rm d}\ }{\,{\rm d}x}-\langle p_x\rangle\ri... ...frac{i\hbar}{2\,(\Delta x)^2} \left(x-\langle x\rangle\right) \psi_{\rm mi} \;,$$ (23)

que es una ecuación diferencial de primer orden separable, cuya solución es directa:

$$\psi_{\rm mi}(x) = \frac{1}{[2\pi(\Delta x)^2]^{1/4}}\, e^{-\fra... ...c{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\langle p_x\rangle x} \;.$$

Podemos arribar a la condición (23) por un camino alternativo si notamos que, como para cualquier par $\mu,\nu\in\mathbb{C}$ se cumple $[\hat{x}-\mu\hat{I},\hat{p}_x-\nu\hat{I}]=[\hat{x},\hat{p}_x]=i\hbar\hat{I}$, entonces para cualquier estado $\psi$ normalizado es posible calcular los valores de expectación

$$\color[rgb]{0.37,0.62,0.63} \langle\psi\vert(\hat{x}-\mu\hat{I})... ...)\vert\psi\rangle = i\hbar\,\textcolor{gray}{\langle\psi\vert\psi\rangle} \;.$$

Teniendo en cuenta que $\hat{x}$ y $\hat{p}_x$ son operadores hermitianos, reescribimos esta identidad como

$$\color[rgb]{0.37,0.62,0.63} \big\langle\big[(\hat{x}-\mu\hat{I})... ...\big]\,\big\vert\,\big[(\hat{p}_x-\nu\hat{I})\psi\big]\big\rangle = i\hbar \;,$$

y dado que siempre $\vert z\vert\ge\operatorname{Im}(z)$, recurrimos a la identidad de Schwartz para expresar

$$\color[rgb]{0.37,0.62,0.63} \Vert(\hat{x}-\mu\hat{I})\ket{\psi}\V... ...g[(\hat{p}_x-\nu\hat{I})\psi\big]\big\rangle\right\vert \ge \frac{\hbar}{2} \;.$$ (24)

Eligiendo $\mu=\langle x\rangle$ y $\nu=\langle p_x\rangle$, esta desigualdad representa el principio de incertidumbre de Heisenberg (ejercicio)

$$\color[rgb]{0.37,0.62,0.63} (\Delta x)_{\ket{\psi}} \cdot (\Delta p_x)_{\ket{\psi}} \ge \frac{\hbar}{2} \;,$$

y para que se cumplan todas las igualdades en (24) —en un estado de mínima incertidumbre $\ket{\psi_{\rm mi}}$—, los vectores involucrados en ese producto escalar deben estar conectados por una constante de proporcionalidad imaginaria (¿por qué?), es decir,

$$\color[rgb]{0.37,0.62,0.63} \left(x-\langle x\rangle\right) \psi_... ...eft(p_x-\langle p_x\rangle\right) \psi_{\rm mi} \qquad (\beta\in\mathbb{R}) \;.$$ (25)

En una dimensión los únicos estados con mínima incertidumbre son paquetes de ondas gaussianos como los que ya habíamos estudiado, dado que son las únicas soluciones a la ecuación diferencial anterior. En el caso del oscilador armónico, el estado fundamental $\ket{0}$ es justamente una gaussiana, de modo que es un paquete de mínima incertidumbre. Recuperando el valor de $(\Delta x)_{\ket{0}}$ que habíamos obtenido arriba, podemos reescribir la expresión (23) para $\ket{0}$ como (ejercicio)

$$\big(\hat{p}_x-\langle p_x\rangle \big)\ket{0} = im\omega\big(\h... ...{m\omega\langle x\rangle+i\langle p_x\rangle}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\ket{0} \;,$$

lo que evidencia que el estado fundamental es autoestado del operador $\hat{a}$ (algo obvio si recordamos que $\langle x\rangle_{\ket{0}} = 0$ y $\langle p_x\rangle_{\ket{0}} = 0$). Esto sugiere la exploración de otros autoestados $\ket{\alpha}$ del operador bajador para analizar si también son paquetes de incertidumbre mínima. En general estos autoestados cumplen

$$\hat{a}\ket{\alpha} = \alpha\ket{\alpha} \quad \Longleftrightarro... ...\alpha}\hat{a}^\dagger = \alpha^*\bra{\alpha} \qquad (\alpha\in\mathbb{C}) \;,$$

y podemos computar $(\Delta x)_{\ket{\alpha}}$ y $(\Delta p_x)_{\ket{\alpha}}$, pues

$$\langle x\rangle_{\ket{\alpha}} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} ... ...right)\ket{\alpha} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\alpha+\alpha^*\right)$$   y

$$\langle x^2\rangle_{\ket{\alpha}} = \frac{\hbar}{2m\omega}\bra{\a... ...ghtarrow \qquad (\Delta x)_{\ket{\alpha}} = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \;,$$

es decir, idéntico al $(\Delta x)_{\ket{0}}$ (¡!). Análogamente, $(\Delta p_x)_{\ket{\alpha}} = \sqrt{m\hbar\omega/2}$ (ejercicio), lo que implica que cualquier autoestado $\ket{\alpha}$ es un estado de incertidumbre mínima y satisface la (23). Estos pueden escribirse en términos de los autoestados $\vert n\rangle\,$ del oscilador armónico

$$\ket{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\ket{n} \;.$$

Si exigimos que $\ket{\alpha}$ sea autovector de $\hat{a}$ y reordenamos índices, vemos que los coeficientes de la expansión anterior cumplen la relación (ejercicio)

$$c_n = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,c_o \;.$$

Imponiendo la condición de normalización sobre $\ket{\alpha}$ resulta (ejercicio) $\,c_o\!=\!e^{-\vert\alpha\vert^2/2}$, y recordando que según la expresión (21) los $\ket{n}$ pueden obtenerse de la aplicación sucesiva de $\hat{a}^\dagger$ sobre el estado fundamental, arribamos a que ^f

$$\ket{\alpha} = e^{-\frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2} \sum_{n=0}^\inf... ...ket{0} = e^{-\frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2+\alpha\,\hat{a}^\dagger} \ket{0} \;.$$ (26)

A menudo se utiliza el operador desplazamiento

$$\hat{D}_\alpha = e^{\alpha\,\hat{a}^\dagger-\alpha^*\hat{a}} \;,$$

definido para cualquier complejo $\alpha$. Este operador es unitario, ya que utilizando la expresión (9) puede verse que (ejercicio)

$$\hat{D}_\alpha\,\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger = e^{\al... ...ray}{\left(=\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger\,\hat{D}_\alpha\right)}\;.$$

También en virtud de la (9) se cumple (ejercicio)

$$\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger\;\hat{a}\,\hat{D}_\alpha ... ...a}^\dagger}\;\hat{a}\;e^{\alpha\,\hat{a}^\dagger} = \hat{a}+\alpha\,\hat{I}\;,$$

donde el nombre de desplazamiento se origina en esta última igualdad, la que surge de la definición de la exponencial de un operador y las relaciones de conmutación entre $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger$ ^g. Entonces se verifica

$$\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger\;\hat{a}\,\hat{D}_\alpha ... ...\alpha\,{\color{lightgray}\big({\color{black}\hat{D}_\alpha\ket{0}} \big)} \;,$$

de manera que

$$\ket{\alpha} = \hat{D}_\alpha\ket{0} \;,$$

es decir, cualquiera de los estados coherentes $\ket{\alpha}$ se obtiene como un desplazamiento $\hat{D}_\alpha$ del estado fundamental $\ket{0}$. Por eso son equivalentes las expresiones

$$\ket{\alpha} = e^{\alpha\,\hat{a}^\dagger-\alpha^*\hat{a}}\ket{0} = e^{-\frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2+\alpha\,\hat{a}^\dagger} \ket{0} \;,$$

lo cual está relacionado con las identidades que encontramos arriba, $(\Delta x)_{\ket{\alpha}}\!=\!(\Delta x)_{\ket{0}}$ y $(\Delta p_x)_{\ket{\alpha}}\!=\!(\Delta p_x)_{\ket{0}}$.

Para obtener la evolución temporal en la base coordenada recordamos que

$$\hat{a}^\dagger = - i\sqrt{\frac{2}{m\hbar\omega}}\,\hat{p}\, + \,\hat{a}$$

y como tanto $\hat{p}\,$ como $\hat{a}\,$ conmutan con $[\hat{p},\hat{a}]\,$ vale (ejercicio)

$$e^{\hat{p}+\hat{a}} = e^{\hat{p}}\,e^{\hat{a}}\, e^{[\hat{p},\hat{a}]/2} \;.$$

Utilizando además que $e^{\alpha\,\hat{a}}\ket{0}\!=\!\ket{0}\,$ (ejercicio), podemos reescribir (26) para representar un estado inicial

$$\ket{\alpha(t\!=\!0)} = \ket{\alpha} = e^{-\frac{1}{2}\vert\alpha\vert^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\ket{n}$$

y aplicar el propagador temporal $\hat{U}_t = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{... ...size $i\omega t$}}{\mbox{\scriptsize $2$}}{\color{gray}\hat{I}}-i\omega\hat{n}}$, obteniendo (otro ejercicio)

$$\vert\alpha(t)\rangle \to\, \varphi_{\alpha}(x,t) = e^{-\frac{1}{... ... \psi_n(x)\, e^{-i\omega t/2} = \varphi_{\alpha(t)}(x)\; e^{-i\omega t/2} \;.$$

Aquí se pone en evidencia que al evolucionar, los autovalores de $\hat{a}$ van cambiando de fase $\alpha\to\alpha(t)=\alpha\,e^{-i\omega t}$. Se deja como ejercicio expresar este estado como una gaussiana para todo $t\,$, que al evolucionar mantiene constante el producto $\Delta x\,\Delta p\!=\!\hbar/2$. Estas soluciones a la ecuación de Schrödinger se denominan estados coherentes, de manera similar a las ondas de luz coherentes, y han atraído mucho interés a partir de la creciente popularidad de los láseres. Con estas expresiones es posible evaluar el valor de expectación de $x\,$

$$\langle x(t)\rangle = \langle\alpha(t)\vert\,x\,\vert\alpha(t)\rangle \;;$$

escribiendo $\alpha\!=\!\vert\alpha\vert e^{i\delta}\,$ y recurriendo nuevamente a las propiedades de $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger\,$ se obtiene (ejercicio)

$$\langle x(t)\rangle = \sqrt{2} x_o \vert\alpha\vert \cos(\omega t-\delta) \;.$$

Es decir, el oscilador cuántico en un estado coherente se comporta como el oscilador clásico. Los estados coherentes son paquetes gaussianos que no se ensanchan, porque todos los términos están en fase, como puede verificarse a partir de las expresiones anteriores.

En el caso del oscilador asociado a cada modo electromagnético, el operador campo eléctrico se escribe

$$\hat{E_x}(r,t) = i\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\varepsilon_o V}} \l... ...a}^\dagger e^{-(i\mbox{\scriptsize $\bm{k}\cdot\bm{r}$}-\omega t)} \right] \;.$$

Para un estado $\vert\alpha(t)\rangle\,$ como los introducidos arriba obtenemos un valor de expectación

$$\langle\alpha\vert\,\hat{E_x}\,\ket{\alpha} = i\sqrt{\frac{\hbar\... ... \alpha^* e^{-(i\mbox{\scriptsize $\bm{k}\cdot\bm{r}$}-\omega t)} \right] \;,$$

o bien

$$\langle\hat{E_x}\,\rangle_{\alpha} = 2\vert\alpha\vert\sqrt{\frac... ...a}{2\varepsilon_o V}} \sen \left(\omega t-\bm{k}\cdot\bm{r}-\delta\right) \;,$$

que nuevamente luce como la expresión que conocemos de la clásica.

Mencionemos por último que existen otros estados de incertidumbre mínima, que no mantienen constantes las incertidumbres en la coordenada y el impulso, sino que va cambiando una a expensas de la otra para que se mantenga constante el producto $\Delta x\,\Delta p\,$. Por supuesto, como deben satisfacer la restricción (23), se trata de paquetes gaussianos, que van modificando su dispersión espacial y en impulso: en lugar de desplazamientos como en los estados coherentes, se alude a deformaciones, denominándolos “estados apretujados” (squeezed states).