Estados de incertidumbre mínima - Coherencia

Habíamos visto en la sección 3.4 que dados dos observables $A\,$ y $B\,$ y cualquier estado $\psi$, se cumple la relación (10)

$$(\Delta A)\,(\Delta B) \ge \displaystyle \frac{1}{2}\left\vert\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle\right\vert$$

mediante la desigualdad de Schwarz

$$\Vert\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\Vert^2_\psi\; \Vert\hat{B}-\la... ...\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle\big) \big\vert\psi \big\rangle \right\vert^2 \,,$$

donde la igualdad vale solo si

$$\big(\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle\big)\,\vert\psi\rangle = \gamma\, \big(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\big)\,\vert\psi\rangle\;.$$ (22)

Además cuando desarrollamos esto en §3.4, teníamos

$$\Vert\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\Vert^2_\psi\; \Vert\hat{B}-\la... ...frac{1}{4}\left\vert\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle\right\vert^2 \;,$$

donde habíamos despreciado el primer término de la derecha. Es decir que para tener un estado con mínima incertidumbre debe cumplirse (22) y también

$$\big\langle\big\{\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle, \hat{B}-\langle\... ...\; \big\vert\, \big(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle\big)\,\psi\,\big\rangle \;.$$

Sustituyendo (22) podemos simplificar cada término

$$\begin{array}{l} \big\langle\,\big(\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle... ...le = \displaystyle\frac{1}{\gamma}(\Delta B)^2 \rule{0em}{2em}\;. \end{array}$$

Al sumar estas identidades obtenemos el valor de expectación del anticonmutador $\bigl\langle\{\hat{A}-\langle\hat{A}\rangle,\hat{B}-\langle\hat{B}\rangle\}\bigr\rangle\,$ y restar para evaluar $\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle$

$$\begin{array}{l} \gamma\,(\Delta A)^2 + \displaystyle\frac{1}{\g... ...^2 = \bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle \rule{0em}{2em}\;, \end{array}$$

de donde despejamos el valor de $\gamma\,$ que nos provee la condición que debe cumplirse para la incertidumbre mínima

$$\fbox{\ \ \ $\gamma = \displaystyle \frac{\bigl\langle[\hat{A},\hat{B}]\bigr\rangle}{2(\Delta A)^2} \rule[-1.75em]{0em}{4.2em} $\ \ \ }$$

Tomando $\hat{A}=\hat{x}\,$ y $\hat{B}=\hat{p_x}\,$, en la base coordenada la condición (22) para el estado $\left\vert \psi_{\rm mi} \right\rangle \,$ de mínima incertidumbre se convierte en

$$\left(-i\hbar\frac{\,{\rm d}\ }{\,{\rm d}x}-\langle p_x\rangle\ri... ...rac{i\hbar}{2\,(\Delta x)^2} \left(x-\langle x\rangle\right) \psi_{\rm mi} \;,$$

que es una ecuación diferencial de primer grado separable, cuya solución es directa:

$$\psi_{\rm mi}(x) = \frac{1}{[2\pi(\Delta x)^2]^{1/4}}\, e^{-\fra... ...c{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\langle p_x\rangle x} \;.$$

En una dimensión los únicos estados con mínima incertidumbre son paquetes de ondas gaussianos como los que ya habíamos estudiado, ya que son las únicas soluciones a la ecuación diferencial anterior.

En el caso del oscilador armónico, el estado fundamental es justamente una gaussiana, de modo que es un paquete de mínima incertidumbre. Pero hay otros paquetes gaussianos que proveen incertidumbre mínima: son autoestados del operador aniquilación

$$\hat{a}\,\vert\alpha\rangle = \alpha\,\vert\alpha\rangle \;,$$

que pueden escribirse en términos de los autoestados $\vert n\rangle\,$ del oscilador armónico

$$\left\vert \alpha \right\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n\left\vert n \right\rangle \;.$$

A partir de la expresión (21) los $\left\vert n \right\rangle$ pueden escribirse como la aplicación sucesiva de $\hat{a}^\dagger$ sobre el estado fundamental, de manera que los coeficientes de la expansión anterior resultan (ejercicio)

$$c_n = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,c_o \;;$$

imponiendo la condición de normalización sobre $\left\vert \alpha \right\rangle$ resulta (ejercicio) $\,c_o\!=\!e^{-\vert\alpha\vert^2/2}$, de modo que

$$\left\vert \alpha \right\rangle = e^{-\frac{1}{2}\vert\alpha\vert... ...}{2}\vert\alpha\vert^2+\alpha\,\hat{a}^\dagger} \left\vert 0 \right\rangle \;.$$

A menudo se utiliza el operador desplazamiento

$$\hat{D}_\alpha = e^{\alpha\,\hat{a}^\dagger-\alpha^*\hat{a}} \;,$$

definido para cualquier complejo $\alpha$. Este operador es unitario, ya que utilizando la expresión (11) puede verse que (ejercicio)

$$\hat{D}_\alpha\,\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger = e^{\al... ...ray}{\left(=\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger\,\hat{D}_\alpha\right)}\;.$$

También en virtud de la (11) se cumple (ejercicio)

$$\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger\;\hat{a}\,\hat{D}_\alpha ... ...a}^\dagger}\;\hat{a}\;e^{\alpha\,\hat{a}^\dagger} = \hat{a}+\alpha\,\hat{I}\;,$$

donde el nombre de desplazamiento se origina en esta última igualdad, la que surge de la definición de la exponencial de un operador y las relaciones de conmutación entre $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger$ ^f. Entonces se verifica

$$\hat{D}_\alpha\hspace{-0.5em}{}^\dagger\;\hat{a}\,\hat{D}_\alpha ... ...0 \right\rangle \right) = \alpha\,\hat{D}_\alpha\left\vert 0 \right\rangle \;,$$

de manera que

$$\left\vert \alpha \right\rangle = \hat{D}_\alpha\left\vert 0 \right\rangle \;,$$

es decir, cualquiera de los estados coherentes $\left\vert \alpha \right\rangle$ se obtiene como un desplazamiento $\hat{D}_\alpha$ del estado fundamental. Por eso son equivalentes las expresiones

$$\left\vert \alpha \right\rangle = e^{\alpha\,\hat{a}^\dagger-\alp... ...}{2}\vert\alpha\vert^2+\alpha\,\hat{a}^\dagger} \left\vert 0 \right\rangle \;.$$

Para obtener la evolución temporal en la base coordenada recordamos que

$$\hat{a}^\dagger = \hat{a} - i\sqrt{\frac{2}{m\hbar\omega}}\, \hat{p}$$

y como tanto $\hat{p}\,$ como $\hat{a}\,$ conmutan con $[\hat{p},\hat{a}]\,$ vale (ejercicio)

$$e^{\hat{p}+\hat{a}} = e^{\hat{p}}\,e^{\hat{a}}\, e^{[\hat{p},\hat{a}]/2} \;.$$

Utilizando además que $e^{\alpha\,\hat{a}}\left\vert 0 \right\rangle \!=\!\left\vert 0 \right\rangle \,$ (ejercicio), podemos escribir

$$\vert\alpha(t)\rangle \to\, \varphi_{\alpha}(x,t) = e^{-\frac{1}... ...(\alpha e^{-i\omega t}\right)^n}{\sqrt{n!}}\, \psi_n(x)\, e^{-i\omega t/2} \;.$$

Se deja como ejercicio expresar este estado como una gaussiana para todo $t\,$, que al evolucionar mantiene constante el producto $\Delta x\,\Delta p\!=\!\hbar/2$. Estas soluciones a la ecuación de Schrödinger se denominan estados coherentes, de manera similar a las ondas de luz coherentes, y han atraído mucho interés a partir de la creciente popularidad de los láseres. Con estas expresiones es posible evaluar el valor de expectación de $x\,$

$$\langle x(t)\rangle = \langle\alpha(t)\vert\,x\,\vert\alpha(t)\rangle \;;$$

escribiendo $\alpha\!=\!\vert\alpha\vert e^{i\delta}\,$ y recurriendo nuevamente a las propiedades de $\hat{a}\,$ y $\hat{a}^\dagger\,$ se obtiene (ejercicio)

$$\langle x(t)\rangle = \sqrt{2} x_o \vert\alpha\vert \cos(\omega t-\delta) \;.$$

Es decir, el oscilador cuántico en un estado coherente se comporta como el oscilador clásico. Los estados coherentes son paquetes gaussianos que no se ensanchan, porque todos los términos están en fase, como puede verificarse a partir de las expresiones anteriores.

En el caso del oscilador asociado a cada modo electromagnético, el operador campo eléctrico se escribe

$$\hat{E_x}(r,t) = i\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\varepsilon_o V}} \l... ...a}^\dagger e^{-(i\mbox{\scriptsize $\bm{k}\cdot\bm{r}$}-\omega t)} \right] \;.$$

Para un estado $\vert\alpha(t)\rangle\,$ como los introducidos arriba obtenemos un valor de expectación

$$\langle\alpha\vert\,\hat{E_x}\,\vert\alpha\rangle = i\sqrt{\frac{... ... \alpha^* e^{-(i\mbox{\scriptsize $\bm{k}\cdot\bm{r}$}-\omega t)} \right] \;,$$

o bien

$$\langle\hat{E_x}\,\rangle_{\alpha} = 2\vert\alpha\vert\sqrt{\frac... ...a}{2\varepsilon_o V}} \sen \left(\omega t-\bm{k}\cdot\bm{r}-\delta\right) \;,$$

que nuevamente luce como la expresión que conocemos de la clásica.