Comportamiento ondulatorio de partículas

Los ejemplos anteriores muestran las características que la radiación electromagnética exhibe como partículas. En 1923 de Broglie sugirió que esta dualidad “onda-partícula” debía de ser universal: toda partícula material se comporta también como onda. Análogamente a lo encontrado para fotones, la longitud de onda y el vector de onda asociados con una partícula de impulso $\bm{p}\,$ son respectivamente

$$\lambda = \frac{h}{p}$$   (longitud de onda de de Broglie)$$\,, \qquad \bm{k} = \frac{\bm{p}}{\hbar} \;,$$

 

La hipótesis de de Broglie fue verificada observando difracción de electrones, y hubo dos experimentos importantes por su relevancia histórica. En primer lugar Davisson y Germer en 1927 dispersaron un haz de electrones de 54 eV mediante un “cristal” (estructura elemental periódica) de níquel, en un montaje similar al de difracción de Bragg para rayos x. Aunque hay dispersión en todas las direcciones, hay un mínimo para $\phi\!=\!35^\circ\,$ y un máximo para $\phi\!=\!50^\circ$. Este patrón se repite aun con haces de electrones de bajísima intensidad, como para considerar que solo se dispersa un electrón por vez. Se reproduce así el esquema de los patrones de

 

interferencia constructiva y destructiva que se observan con la radiación electromagnética: en la difracción de rayos x, cada plano cristalino se comporta como si reflejara las ondas incidentes; el máximo del experimento de Davisson-Germer corresponde al primer orden ($n\!=\!1$) de la ley de Bragg

$$n\lambda = 2d\sen \theta \;,$$

donde $d\,$ es la separación de los planos cristalinos. Los electrones dispersados en el máximo deberían entonces tener asociada una longitud de onda

$$\lambda = 2d \cos\frac{\phi}{2} \;.$$

Sabiendo que en este caso $d\!=\!0.091$nm ( $0.91$Å), del experimento resulta $\lambda\!=2\times0.091\,$nm$\times\cos25^\circ\!=0,165\,$nm; como la energía cinética es $54\,$eV$=\!p^2/(2m_e)$, según la hipótesis de de Broglie $\lambda\!=\!h/p$ esto corresponde a $\lambda\!=\!6.626\cdot10^{-34}$J$\,$s$/\sqrt{2\times9.109\!\cdot\!10^{-31}\text{kg}\times54\,\text{eV}\times1.602\cdot10^{-19}\text{J/eV}}\!=\!0,167\,\text{nm}$, ¡un tremendo éxito!

En 1928 Thomson también difractó electrones a través de un film delgado policristalino, confirmando la hipótesis de de Broglie y el comportamiento ondulatorio de los electrones. Estos experimentos inspiraron muchos otros, observándose bandas de interferencias al involucrar partículas cada vez más grandes: neutrones, protones, átomos de helio, etc. Recientemente, el equipo de Zeilinger y Arndt mostraron experiencias de difracción utilizando moléculas de C$_{60}$^a y luego en fluorofulerenos C$_{60}$F$_{48}$^b, que casi pertenecen al dominio clásico: los objetos con mayor masa poseen mayor impulso, y por lo tanto menor longitud de onda asociada, de modo que no evidencian comportamiento ondulatorio.

El patrón de interferencia sugiere describir el estado de un electrón mediante una onda plana

$$\psi(\bm{r},t) = A\,e^{i(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}-\omega t)} = A\,e^{i(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r}-E t)/\hbar} \;,$$

llamada ingeniosamente “función de onda”. Pero, ¿qué representa esta función? Antes de avanzar en su significado, analicemos qué puede ocurrir con un experimento de doble rendija con un haz de electrones. Claramente, si las partículas son clásicas, un detector ubicado detrás de las rendijas registra la suma de lo que detecta con cada rendija abierta por separado. Sin embargo, para nuestras partículas cuánticas, lo que se detecta no puede ser la suma de las intensidades por separado, sino, al igual que con ondas electromagnéticas, debería corresponder a la suma de amplitudes (complejas), con lo cual aparece un patrón de interferencia análogo al observado en experiencias de óptica.

Evidentemente, el significado de la función de onda debe desprenderse de la asociación de la probabilidad de hallar a la partícula microscópica en la posición $\bm{r}\,$ al instante $t\,$ con $\vert\psi(\bm{r},t)\vert^2$. Sin embargo, naturalmente surge el interrogante acerca de cuál fue la rendija a través de la cual pasó cada uno de los electrones detectados: este experimento también ha sido realizado con bajas intensidades incidentes, de manera que el detector detrás de las rendijas detecta solo un electrón por vez.

Con este experimento se establece el carácter indeterminista del mundo microscópico: es imposible seguir una partícula y determinar su trayectoria. Si quisiéramos relevar por cuál de las rendijas pasa un electrón, podríamos disponer un haz de luz detrás de la pared con las rendijas para relevar cada caso. Sin embargo, destruiríamos automáticamente el patrón de interferencia al interactuar con un electrón, pues cambiaríamos su estado al impactarlo con un fotón. Más adelante volveremos sobre qué significa el proceso de medición en la cuántica.

Claramente los electrones exhiben propiedades de partículas y también de ondas. Estos dos tipos de rasgos no son incompatibles en el mundo microscópico, sino complementarios; es por ello que visto de este modo, a veces se invoca a la dualidad onda-partícula como principio de complementariedad.

Las explicaciones que se dan para los experimentos de difracción de electrones y de doble rendija sugieren que la superposición de ondas que representan diferentes estados de un sistema también es un estado válido. Por ejemplo si $\psi_1(\bm{r},t)\,$ y $\psi_2(\bm{r},t)\,$ corresponden respectivamente a la emisión desde la rendija 1 y de la rendija 2 por separado, cualquier estado

$$\psi(\bm{r},t) = \alpha_1\psi_1(\bm{r},t) + \alpha_2\psi_2(\bm{r},t)$$

también representa un estado físicamente posible, y por ello encontramos el patrón de interferencia en nuestro detector. La “intensidad” registrada en ese caso será

$$\left\vert\psi(\bm{r},t)\right\vert^2 = \left\vert\alpha_1\psi_1(... ...psi_2(\bm{r},t) + \alpha_1\psi_1(\bm{r},t)\, \alpha_2^*\psi_2^*(\bm{r},t) \;,$$

y en los dos últimos términos está contenida la interferencia (igual que en óptica), pues allí intervienen las diferencias de fase entre los dos estados, pudiendo contribuir con términos negativos al miembro de la derecha.