Principio de incertidumbre de Heisenberg

Todas estas consideraciones acerca de la naturaleza indeterminista del mundo microscópico inspiraron lo que hoy conocemos como principio de incertidumbre de Heisenberg. En mecánica clásica las ecuaciones de movimiento junto a las condiciones iniciales $(\bm{r}_o,\bm{v}_o)\,$ determinan completamente el estado $(\bm{r}(t),\bm{v}(t))\,$ para cualquier instante $t$ posterior (e incluso previo), es decir es claramente determinista. En cuántica en cambio vemos que el estado de una partícula se representa mediante una función de onda, no localizada: los conceptos de posición exacta, momento preciso y trayectoria única no tienen sentido en la escala microscópica. El principio de incertidumbre de Heisenberg se estableció originalmente de la siguiente manera:

Por supuesto, esto es válido para cualquiera de las componentes tridimensionales de $\bm{r}\,$ y $\bm{p}$. En el ámbito macroscópico esto no tiene relevancia; en cambio para medir la posición de un electrón necesitamos radiación de longitud de onda muy corta (del tamaño de un átomo), cuya energía es alta y puede cambiar mucho el impulso original del electrón.

El principio de incertidumbre puede generalizarse a cualquier par de variables dinámicas complementarias o canónicamente conjugadas. Por ejemplo, para energía y tiempo debe cumplirse la relación

$$\Delta E\, \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} \;.$$

Del mismo modo, se puede enunciar para el momento angular $L\,$ y la coordenada angular $\phi\,$ correspondiente

$$\Delta L\, \Delta \phi \ge \frac{\hbar}{2} \;.$$

Este principio de incertidumbre refuerza la idea de que las estimaciones que pueden darse en cuántica siempre son probabilísticas. Como sugerimos más arriba, Born en 1927 interpretó a $\vert\psi\vert^2\,$ como la densidad de probabilidad de hallar a la partícula en $\bm{r}$. Así, $\left\vert\psi(\bm{r},t)\right\vert^2\,\,{\rm d}^3\bm{r}=\,{\rm d}P(\bm{r},t)\,$ es la probabilidad de encontrar a la partícula en el instante $t\,$ en un entorno d $^3\bm{r}\,$ de $\bm{r}$. La condición de normalización sobre la probabilidad $P(\bm{r},t)\,$ se traduce en la normalización de la función de onda

$$\int \,{\rm d}^3\bm{r}\, \vert\psi(\bm{r},t)\vert^2 = 1 \;.$$

Pronto volveremos sobre la interpretación probabilística de la función de onda en diferentes situaciones.