Sistemas de varias partículas (distinguibles)

En muchos sistemas físicos se involucran varias partículas microscópicas: núcleos, átomos, moléculas, sólidos, sistemas gaseosos, etc. Mientras en un átomo se involucran entre 2 y 300 partículas, en los sistemas termodinámicos este número se vuelve realmente grande ( $\simeq 10^{23}$).

Para describir un sistema de $N\,$ partículas generalizamos lo que hacíamos con una sola partícula. Despreciando las coordenadas de espín, la función de onda conjunta $\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N)\,$ para las $N\,$ partículas debe permitirnos evaluar la probabilidad conjunta de que la partícula 1 se encuentre en un entorno diferencial $\,{\rm d}^3r_1\,$ de $\bm{r}_1\,$, la partícula 2 se encuentre en un entorno diferencial $\,{\rm d}^3r_2\,$ de $\bm{r}_2\,$, $\,\dots\,$ y la partícula $N\,$ se encuentre en un entorno diferencial $\,{\rm d}^3r_N\,$ de $\bm{r}_N\,$, mediante $\vert\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N)\vert^2\,{\rm d}^3r_1\,{\rm d}^3r_2\dots\,{\rm d}^3r_N\,$. Cuando la descripción se realiza a través de un conjunto de números cuánticos $\bm{\alpha}\,$ (por ejemplo $\bm{\alpha}=(n,\ell,m)\,$ en el caso del átomo hidrogenoide), la función de onda conjunta se representa en estos términos como $\left\vert \psi \right\rangle =\left\vert \bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\dots,\bm{\alpha}_N \right\rangle$; en principio puede construirse a partir del producto tensorial de cada espacio de Hilbert, es decir $\left\vert \psi \right\rangle =\left\vert \bm{\alpha}_1 \right\rangle \otimes\l... ...pha}_2 \right\rangle \otimes\dots\otimes\left\vert \bm{\alpha}_N \right\rangle$. Esta función de onda (normalizada) debe evolucionar en el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar\, \frac{\partial \,}{\partial t}\!{\rule{0em}{0.8em}}^{\di... ...}_2,\dots,\bm{r}_N)} = \hat{H}_N\, \psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N) \;,$$

donde

$$\hat{H}_N = \sum_{j=1}^N \frac{\bm{\hat{p}}_j^2}{2\,m_j} + \hat{V... ...frac{\hbar^2}{2m_j}\nabla_j^2 + \hat{V}(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N) \;.$$

El último término incluye el potencial de interacción entre las partículas (de masas respectivas $m_j$), y también los campos externos aplicados a ellas.

Como los $\bm{\hat{p}}_j\,$ actúan sobre diferentes espacios de Hilbert, es obvio que se cumple

$$[\hat{x}_{\alpha j},\hat{p}_{\beta k}] = i\hbar\,\delta_{\alpha,\beta}\,\delta_{j,k} \;, \qquad \alpha,\beta=1,2,3 \;\; (x,y,z) \;,\quad j,k=1,2,\dots,N$$

$$[\hat{x}_{\alpha j},\hat{x}_{\beta k}] = 0 \qquad[\hat{p}_{\alpha j},\hat{p}_{\beta k}] = 0 \rule{0em}{1.5em} \;.$$

Al igual que en el caso de una única partícula, nos siguen interesando los autovalores $E\,$ de $\hat{H}_N\,$. Si el potencial es independiente del tiempo, la ecuación para las autoenergías $\hat{H}\psi=E\psi\,$ ahora se escribe

$$\left[-\sum_{j=1}^N \frac{\hbar^2}{2m_j} \nabla_j^2 + V(\bm{r}_1... ...}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N) = E\, \psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N) \;,$$

donde $\nabla_j\,$ es el operador gradiente en el espacio de Hilbert original de la $j$-ésima partícula (extendido ahora al espacio producto al componerlo con las correspondientes identidades en los otros espacios). Los valores de expectación para cualquier operador que actúe en el espacio producto se evalúan de la manera habitual, y la evolución se obtiene a partir del estado inicial aplicando el propagador temporal

$$\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N;t) = e^{-\frac{\mbox{\scri... ...criptsize $\hbar$}}\hat{H}_N} \, \psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N;0) \;.$$

Por ejemplo en el caso de un átomo multielectrónico, puede describirse el sistema mediante las coordenadas $\bm{r}_j\,$ de los $Z\,$ electrones más la coordenada del centro de masa $\bm{R}\,$, que prácticamente coincide con la coordenada del núcleo en virtud de que la masa de un nucleón (neutrón o protón) es 1800 veces la de un electrón. Considerando que solo existe la interacción coulombiana entre estas partículas, de cargas $-e\,$ y $+Ze\,$ (núcleo)

$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_e} \sum_{j=1}^Z \nabla_j^2 -\frac{\... ...\bm{r}_j-\bm{R}\vert} + \sum_{i>j} \frac{e^2}{\vert\bm{r}_i-\bm{r}_j\vert} \;,$$

donde $M\,$ es la masa del núcleo y $\nabla_{\boldsymbol{R}}$ corresponde al operador gradiente respecto de la coordenada del núcleo (centro de masa).

Cuando las partículas son distinguibles, esta construcción mediante el producto de soluciones individuales resulta suficiente

$$\psi(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\dots,\bm{r}_N) = \psi_1(\bm{r}_1)\,\psi_2(\bm{r}_2)\,\dots\,\psi_N(\bm{r}_N) \;.$$

En particular, el problema se simplifica bastante cuando las partículas no interactúan, ya que el hamiltoniano

$$\hat{H}_N = \sum_{j=1}^N \hat{h}_j$$

es separable: se conforma por la suma de los hamiltonianos individuales $\hat{h}_j\,$, los cuales actúan sobre espacios diferentes, de manera que el problema queda reducido a varios problemas para una sola partícula.