Partículas indistinguibles

 

Cuando las partículas son idénticas, la construcción anterior resulta inadecuada. La cuántica impide definir precisamente la posición de una partícula microscópica, por lo que claramente cuando un sistema está conformado por varias partículas idénticas, estas dejan de ser distinguibles. Un ejemplo típico de dispersión permite visualizar esta limitación: las partículas microscópicas (idénticas) 1 y 2 se encuentran próximas en cierta región del espacio como para interactuar, de manera que ambas son deflectadas de su dirección original de viaje para luego ser registradas en sendos detectores; sin embargo, resulta imposible determinar cuál es la partícula colectada en cada detector.

 

Las únicas mediciones posibles sirven para saber qué le ocurre a una de las partículas (alguna de ellas), pero se pierde su “individualidad”. Esta indistinguibilidad sugiere que el intercambio entre dos partículas no debe afectar la situación física, y nos lleva a introducir el operador de intercambio o permutador $\hat{\Pi}_{ij}\,$ que justamente intercambia el estado de la partícula $i\,$ con la partícula $j\,$, es decir

$$\hat{\Pi}_{ij} \vert\dots,\bm{\alpha}_i,\dots,\bm{\alpha}_j,\dots\rangle = \vert\dots,\bm{\alpha}_j,\dots,\bm{\alpha}_i,\dots\rangle \;.$$

Claramente $\hat{\Pi}_{ij}^2=\hat{I}\,$, y los autovalores de $\hat{\Pi}_{ij}\,$ son $\pm 1$: los autovectores asociados con el autovalor +1 son las funciones simétricas ante permutaciones, mientras que los asociados al autovalor $-1$ son las funciones antisimétricas ante permutaciones. Precisamente, este tipo de funciones son las que proveen las mismas probabilidades para cierto estado conjunto, sin definir cuál de las partículas ocupa un determinado estado individual, es decir

$$\vert\psi(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_j,\dots,\bm{r}_i,\dots,\bm{r}_N)\... ...= \vert\psi(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_i,\dots,\bm{r}_j,\dots,\bm{r}_N)\vert^2 \;.$$

Teniendo presente que $\hat{H}_N$ es hermitiano y que la base de autofunciones puede tomarse real, la condición anterior implica

$$\psi(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_j,\dots,\bm{r}_i,\dots,\bm{r}_N) = \pm\, \psi(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_i,\dots,\bm{r}_j,\dots,\bm{r}_N) \;.$$

Cuando se trata de un sistema de varias partículas indistinguibles, el hamiltoniano debe ser simétrico ante permutaciones, es decir debe cumplirse

$$\hat{\Pi}_{ij}\,\hat{H}_N = \hat{H}_N\,\hat{\Pi}_{ij} \;,$$

es decir, $\hat{\Pi}_{ij}\,$ y $\hat{H}_N\,$ conmutan. Esto implica que todos los $\hat{\Pi}_{ij}$ son constantes de movimiento, lo que significa que si un sistema en cierto instante se describe mediante una función de onda (anti)simétrica, para cualquier otro instante la función seguirá siendo (anti)simétrica.

Notemos que si $\psi\,$ es autofunción de $\hat{H}_N\,$, es decir $\hat{H}_N\psi=E\,\psi\,$, $\hat{\Pi}\psi\,$ también es autofunción de $\hat{H}_N\,$ con el mismo autovalor $E$

$$\hat{H}_N\bigl(\hat{\Pi}\psi\bigr) = \hat{\Pi}\bigl(\hat{H}_N\psi\bigr) = E\bigl(\hat{\Pi}\psi\bigr) \;.$$

En realidad cualquier operador físico $\hat{S}\,$ asociado a una variable dinámica debe ser simétrico ante permutaciones, es decir, debe conmutar con cualquier $\hat{\Pi}$, ya que el resultado de una determinación experimental no debe alterarse al permutar partículas idénticas. Esto puede demostrarse aprovechando el hecho de que las $\hat{\Pi}\,$ son unitarias, imponiendo (ejercicio)

$$\langle\hat{S}\rangle_{\hat{\Pi}\psi} = \langle\hat{\Pi}\psi\ver... ...\hat{S}\rangle_{\psi} \qquad \Rightarrow \qquad [\hat{\Pi},\hat{S}\,] = 0 \;.$$

Todas estas consideraciones conducen a introducir un nuevo postulado en la cuántica, a menudo llamado también “segunda cuantización”,

Las partículas regidas por funciones de onda totalmente simétricas se denominan bosones porque obedecen a la estadística de Bose-Einstein y, como mencionamos anteriormente, son todas las partículas con espín entero: fotones ($s$=1), mesones $\pi$, partículas $\alpha$ ($s$=0), etc. En cambio las partículas descriptas por funciones de onda totalmente antisimétricas se denominan fermiones y obedecen a la estadística de Fermi-Dirac; se trata de las partículas con espín semientero, como los electrones, protones, neutrones ($s$=1/2), bariones $\delta$ ($s$=3/2), etc.

Vale la pena notar que es imposible ignorar el espín en el caso general, sobre todo teniendo en cuenta que los fermiones jamás pueden tener espín 0. Si bien en las presentación precedente lo omitimos, conviene pensar en una coordenada $\bm{\xi}_j$ que abarque la coordenada espacial $\bm{r}_j$ y cualquier otra coordenada que determine el estado de la partícula, como el espín. La condición de simetría definida para las funciones de onda globales se escribe entonces

$$\Psi(\bm{\xi}_1,\dots,\bm{\xi}_j,\dots,\bm{\xi}_i,\dots,\bm{\xi}_N) = \pm\, \Psi(\bm{\xi}_1,\dots,\bm{\xi}_i,\dots,\bm{\xi}_j,\dots,\bm{\xi}_N)$$

(aquí utilizamos $\Psi$ para referirnos a la función de onda que incluye todas las coordenadas necesarias para la descripción).