Partículas idénticas interactuantes.

En este caso se proponen soluciones arbitrarias en el espacio producto como las sugeridas en (21). La ecuación de Schrödinger entonces implica en general un sistema de $N\,$ ecuaciones diferenciales acopladas: cualquier método que permita su solución proveerá las funciones de onda individuales, y el procedimiento para construir las soluciones válidas es idéntico al caso anterior.

Un caso de especial interés es el de sistemas de fermiones, ya que involucra sumandos con signos alternados. La expresión (22) es muy parecida a una de las posibles definiciones para el determinante de una matriz, que en este caso sería

$$\Psi_a(\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \left\... ...s & \Psi_{{\bm\alpha}_N}(\bm{\xi}_N)\rule{0em}{1em} \end{array} \right\vert \;.$$ (22)

Esta forma de escribir las soluciones antisimétricas es conocida como determinante de Slater. Aquí se pone en evidencia que una permutación de un par de partículas equivale a un intercambio entre dos columnas, con el consiguiente cambio de signo del determinante o de la correspondiente función antisimétrica.

Es importante señalar que la descripción de un sistema se completa teniendo en cuenta también el estado de espín de las partículas, como dijimos más arriba: además de las coordenadas espaciales $\bm{r}_j$, los valores de $\bm{\xi}_j$ incluyen la proyección $\sigma_j$ del espín de la partícula $j$. A menudo resulta más cómodo recordar que estas coordenadas están asociadas a diferentes espacios de Hilbert, y por lo tanto la función de onda global es un elemento del producto tensorial de los espacios separados. Por ejemplo, para un sistema de dos bosones idénticos no interactuantes, las posibles funciones de onda simétricas deben conjugar funciones espaciales $\psi\,$ con funciones de espín $\chi\,$ ambas simétricas o ambas antisimétricas:

$$\Psi_s(\bm{r}_1,\sigma_1,\bm{r}_2,\sigma_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} ... ...,\bigr]\; \chi_a(\sigma_1,\sigma_2)\;. \rule{0em}{1.3em} \end{array} \right.$$

Para dos fermiones idénticos en cambio, la función de onda resultante debe ser antisimétrica. En el caso particular de espines 1/2, conocemos explícitamente el resultado en el espacio suma, donde los estados del triplete son simétricos (¿por qué?)

$$\chi_s(\sigma_1,\sigma_2) = \left\{ \begin{array}{l} \left\vert ... ... \left\vert -- \right\rangle \rule{0em}{1.2em}\\ \end{array} \right. \qquad,$$

mientras que el singlete es antisimétrico

$$\chi_a(\sigma_1,\sigma_2) = \frac{\left\vert +- \right\rangle - \left\vert -+ \right\rangle }{\sqrt{2}} \;.$$