Partículas idénticas no interactuantes.

En este caso sabemos que la ecuación de Schrödinger puede desdoblarse en $N\,$ ecuaciones desacopladas

$$\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_j^2 + V(\bm{\xi}_j) \right] \Psi_{{\bm\alpha}_j} = \varepsilon_{{\bm\alpha}_j} \Psi_{{\bm \alpha}_j} \;,$$

donde los ${\bm\alpha}_j$ representan conjuntos de números cuánticos asociados con cada autofunción. Si bien por construcción la energía total para el sistema se obtiene de manera similar al caso de partículas distinguibles

$$E_{{\bm\alpha}_1,{\bm\alpha}_2,\dots,{\bm\alpha}_N} = \sum_{j=1}^N \varepsilon_{{\bm\alpha}_j} \;,$$

la función de onda total construida a partir del producto directo no satisface el postulado de simetrización, es decir

$$\Psi_{{\bm\alpha}_1,{\bm\alpha}_2,\dots,{\bm\alpha}_N} \neq \Psi(... ..._1,\cdots,\bm{\xi}_N) \equiv \prod_{j=1}^N \Psi_{{\bm\alpha}_j}(\bm{\xi}_j) \;.$$ (20)

Para obtener la función de onda correcta nos concentramos primero en el caso de un sistema de dos partículas. Si el producto directo nos permite obtener una función de onda conjunta $\Psi(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2)$, las soluciones simétrica y antisimétrica son respectivamente

$$\Psi_s(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl[\,\Psi(... ...} \bigl[\,\Psi(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2)-\Psi(\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_1)\,\bigr] \;.$$

El factor $1/\sqrt{2}$ se agrega para que el resultado esté adecuadamente normalizado. De manera similar, para 3 partículas obtenemos

$$\Psi_s(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_3) = \frac{1}{\sqrt{6}} \bigl[\, \Psi(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_3) + \Psi(\bm{\xi}_1, \bm{\xi}_3,\bm{\xi}_2) + \Psi(\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_3,\bm{\xi}_1) +$$

$$+ \Psi(\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_3) + \Psi(\bm{\xi}_3,\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2) + \Psi(\bm{\xi}_3,\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_1) \,\bigr] \;,$$

$$\Psi_a(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_3) = \frac{1}{\sqrt{6}} \bigl[\, \Psi(\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_3) - \Psi(\bm{\xi}_1, \bm{\xi}_3,\bm{\xi}_2) + \Psi(\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_3,\bm{\xi}_1) - \rule{0em}{2em}$$

$$- \Psi(\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_3) + \Psi(\bm{\xi}_3,\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2) - \Psi(\bm{\xi}_3,\bm{\xi}_2,\bm{\xi}_1) \,\bigr] \;.$$

El denominador abarca las $3!\!=\!6$ permutaciones posibles entre las 3 partículas.

Es importante notar que las expresiones anteriores para los estados simétricos son válidas siempre que todas las partículas se encuentren en estados diferentes. En el caso en que $n_k\,$ partículas ocupan el mismo estado cuántico, es necesario incluir un factor $1/\sqrt{n_k!}\,$ para mantener la normalización del estado resultante. Se deja como ejercicio la verificación de esta normalización correcta (¿Por qué no hay problemas en el caso de fermiones?).

La construcción para el caso general es idéntica a los casos anteriores, simplemente hay que contar adecuadamente todas las permutaciones involucradas ($N!$). Para las funciones antisimétricas, conviene notar que cualquier elemento $\hat{\Pi}\,$ del grupo de permutaciones posibles (entre cualquier número de partículas) puede escribirse como producto de intercambios entre pares $\hat{\Pi}_{ij}\,$; entonces decimos que $\hat{\Pi}\,$ es par si se logra mediante un número par de permutaciones $\hat{\Pi}_{ij}\,$, e impar en caso contrario. Con esta convención nos queda

$$\Psi_s(\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \left(\Pi \frac{1}{\sqrt{n_k!}}\right) \sum... ...} \bigl[\, \Psi(\bm{\xi}_1)\,\Psi(\bm{\xi}_2)\dots\Psi(\bm{\xi}_N) \,\bigr] \;,$$

$$\Psi_a(\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{\Pi} (-1)^\Pi\, \hat{\Pi} \bigl[\, \Psi(\bm{\xi}_1)\,\Psi(\bm{\xi}_2)\dots\Psi(\bm{\xi}_N) \,\bigr] \rule{0em}{2em} \;.$$ (21)