Espín 1/2

El caso particular de espín 1/2 reviste cierta sencillez, y resulta muy relevante ya que se aplica a muchas situaciones físicas importantes. Simplificamos la notación anterior para los autovectores siempre que esté claro el valor de espín $s\,$ que abordamos

$$\textstyle \ket{\frac{1}{2},+\frac{1}{2}} = \ket{+\frac{1}{2}} = ... ...1}{2},-\frac{1}{2}} = \ket{-\frac{1}{2}} = \ket{-} = \ket{\,\downarrow\,} \;.$$

Las ecuaciones de autovalores entonces se escriben

$$\hat{S}^2\ket{\pm} = \frac{3}{4}\hbar^2\ket{\pm}$$   y$$\qquad\hat{S}_z\ket{\pm} = \pm\frac{\hbar}{2}\ket{\pm} \;.$$

La forma matricial de estos operadores se obtiene mediante el procedimiento habitual (ejercicio)

$$\hat{S}^2 = \frac{3\hbar^2}{4} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0... ... \left(\begin{array}{rr} 0 & 0\\ 1 & 0\rule{0em}{1.5em}\end{array}\right) \;,$$

de donde resulta directo (otro ejercicio)

$$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & ... ...\left(\begin{array}{rr} 0 & -i\\ i & 0\rule{0em}{1.5em}\end{array}\right) \;.$$

En esta representación los elementos de la base para los espinores son vectores columna

$$\ket{+} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 0\rule{0em}{1.5em} \end{arra... ...\ket{-} = \left(\begin{array}{r} 0\\ 1\rule{0em}{1.5em} \end{array}\right) \;.$$

Es directo verificar que este es un conjunto completo y ortonormal (...). Un vector de estado cualquiera $\vert\chi\rangle\,$ que represente las coordenadas de espín será una combinación lineal de estos elementos

$$\ket{\chi} = \left(\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \rule{0em}{1.3em} \end{array}\right) \;,$$   con$$\qquad \vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1 \;,$$

de modo que podemos elegir $\vert\alpha\vert=\cos(\theta/2)\,$ y $\vert\beta\vert=\sen (\theta/2)\,$ con alguna fase $\varphi\,$ entre ellas

$${\color[rgb]{0.75,0.6,0.6} \ket{\chi} = \left(\begin{array}{c} ... .../2) \\ \sen (\theta/2)\;e^{i\varphi} \rule{0em}{1.5em} \end{array}\right) }\;,$$

o bien, aprovechando que siempre tenemos la alternativa de agregar una fase arbitraria,

$$\ket{\chi} = \left(\begin{array}{c} \cos(\theta/2)\;e^{-i\varphi/2} \\ \sen (\theta/2)\;e^{i\varphi/2} \rule{0em}{1.5em} \end{array}\right) \;.$$

(1)

Veremos que esta forma general nos será sumamente provechosa, ya que estará relacionada además con los autoestados del operador $\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\hat{S}}$ definida según el vector unitario $\hat{\bm{n}}$ a partir de los ángulos polar $\theta$ y acimutal $\varphi$ (cualesquiera), cuya representación matricial resulta (ejercicio)

$$\hat{\bm{n}}\cdot\bm{\hat{S}} = \frac{\hbar}{2} \left(\begin{arra... ...sen \theta\; e^{i\varphi} & -\cos\theta\rule{0em}{1.5em}\end{array}\right) \;.$$

El problema de autovalores para $\hat{S}_x\,$ y $\hat{S}_y\,$ se resuelve directamente a partir de la representación matricial, o bien utilizando los operadores $\hat{S}_\pm\,$ como en nuestra juventud. Los autovectores (ejercicio)

$$\vert\pm x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert+\!z\rangle\pm\v... ...y\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert+\!z\rangle\pm i\vert-\!z\rangle\Bigr)$$

cumplen

$$\hat{S}_x \vert\pm x\rangle = \pm\frac{\hbar}{2} \vert\pm x\rangle$$   y$$\qquad \hat{S}_y \vert\pm y\rangle = \pm\frac{\hbar}{2} \vert\pm y\rangle \;.$$

(2)