Formalismo general

Toda la teoría sobre espín se desprende de lo que ya hemos visto para operadores momentos angulares ( $\hat{J^2}\,$, $\hat{J_z}$) en general

$$\hat{J^2} \vert j,m\rangle = \hbar^2\,j\,(j+1)\,\vert j,m\rangle \;;\qquad \hat{J_z} \vert j,m\rangle = \hbar\,m\,\vert j,m\rangle \;$$

En lugar de $J\,$ utilizaremos $S$ para referirnos al espín (y también $s\,$ en lugar de $j$). El operador de espín tiene entonces tres componentes cartesianas

$$\bm{\hat{S}} = \left(\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z\right)$$   con$$\qquad [\hat{S}_j,\hat{S}_k]=i\hbar\,\varepsilon_{jk\ell}\,\hat{S}_\ell\;, \quad j,k,\ell=1,2,3\; (x,y,z) \qquad ($$o bien$$\; \bm{\hat{S}}\times\bm{\hat{S}}=i\hbar\,\bm{\hat{S}})\;.$$

Como $\hat{S}^2\,$ y $\hat{S}_z\,$ conmutan, elegimos también ahora autovectores $\vert s,m_s\rangle\,$ comunes a ambos operadores

$$\hat{S}^2 \vert s,m_s\rangle = \hbar^2\,s\,(s+1)\,\vert s,m_s\ran... ..._s\rangle = \hbar\,m\,\vert s,m_s\rangle \;,\qquad m_s=-s,-s+1,\dots,s-1,s \;.$$

También recuperamos los operadores subidor y bajador

$$\hat{S}_\pm = \hat{S}_x \pm i\hat{S}_y \;,$$

cuya acción sobre los autoestados $\vert s,m_s\rangle\,$ conocemos

$$\hat{S}_\pm\vert s,m_s\rangle = \hbar\sqrt{s(s+1)-m_s(m_s\pm1)}\; \vert s,m_s\!\pm1\rangle \;.$$

Con estos operadores evaluamos fácilmente los valores de expectación

$$\langle\hat{S}_x^2\rangle = \langle\hat{S}_y^2\rangle = \frac{1}... ...gle\hat{S}_z^2\rangle\right) = \frac{\hbar^2}{2}\left[s(s+1)-m_s^2\right] \;;$$

y al ver que $\langle\hat{S}_{x,y}^2\rangle\neq0\;$ a pesar de que $\langle\hat{S}_{x,y}\rangle=0\;$, recuperamos el mismo estupor de aquel entonces.

Como habíamos visto para el caso general, los estados de espín deben conformar una base ortonormal, cumpliendo

$$\langle s',m_s'\vert s,m_s\rangle = \delta_{s',s}\delta_{m_s',m_s}$$   y$$\qquad \sum_{m_s=-s}^s \vert s,m_s\rangle \langle s,m_s\vert = \hat{I} \;.$$

En la primera identidad los índices $s'\,$ y $s\,$ en general son prescindibles, ya que cuando trabajamos con partículas con espín definido, hay un único valor posible para $s\,$.