Evidencia experimental

En 1922 Stern y Gerlach hicieron pasar un haz de átomos de plata por una región con campo magnético no uniforme. Estos átomos se conforman con 46 electrones distribuidos en una configuración esféricamente simétrica de carga, y el electrón número 47 ocupa el orbital $5s$, correspondiente al número cuántico principal $n\!=\!5$, $\ell\!=\!0$.

Si la interacción del campo magnético y el momento magnético resultante fuera clásica, se esperaría detectar una banda simétrica y continua alrededor de la deflexión nula. La cuántica en cambio prevé un desdoblamiento en $(2\ell\!+\!1)\,$ componentes cuando el momento angular orbital de los átomos es $\ell\,$ —que es entero, de manera que $(2\ell\!+\!1)\,$ es impar. Si los átomos se encuentran en su estado fundamental ( $\ell\!=\!0$), debería registrarse un único punto en la pantalla; en el caso de que el electrón de la quinta capa se hallara en el estado $5p\,$ ( $\ell\!=\!1$), habría que esperar en cambio 3 puntos de deflexión, correspondientes a las 3 orientaciones posibles para la componente del momento angular en esa dirección. Sin embargo el experimento muestra claramente dos componentes, lo que en principio sugiere que también falla la predicción de la cuántica, ya que estas dos proyecciones corresponden a un valor $s\!=\!1/2$ para el momento angular de los átomos.

Goudsmit y Uhlenbeck propusieron en 1925 que los electrones poseen momento angular intrínseco, que nada tiene que ver con los grados de libertad traslacionales. Al igual que en el caso del momento angular intrínseco de un sólido, este también recibió el nombre de espín, a pesar de que la descripción de los electrones se realiza como una partícula sin estructura (no hay nada allí que pueda rotar). Es importante no asociar este término con una estructura que efectivamente gira: el espín es un concepto puramente cuántico, y no existe ninguna analogía en clásica; tampoco puede correlacionarse directamente con la descripción del momento angular orbital, ya que ahora no hay un operador diferencial asociado con el espín.

Sabemos de la física clásica que el movimiento de una masa $m\,$ asociado con un momento angular orbital $\bm{L}\,$, cuya carga es $q\,$, genera un momento magnético dipolar

$$\bm{\mu}_L = \frac{q}{2mc} \bm{L} \;,$$

donde $c\,$ es la velocidad de la luz. Si pensamos análogamente en algún movimiento de un electrón de carga $-e\,$ y masa $m_e\,$, podemos escribir para su momento magnético intrínseco

$$\bm{\mu}_s = - g_s\frac{e}{2m_e c} \bm{S} \;,$$

donde el factor de Landé $g_s\simeq2\,$ debe agregarse en virtud de que el electrón no es precisamente una carga que gira. Todas las partículas elementales tienen asociada una relación giromagnética, que en el caso del electrón es $g_s\,$ (la cuántica relativista predice exactamente $g_s$=2).

Estos elementos son útiles para interpretar lo que sucede en el experimento de Stern-Gerlach. El campo $\bm{B}\,$ inhomogéneo aplica una fuerza sobre los $\bm{\mu}_s\,$, según su orientación. Para ver esto recordemos que el potencial de interacción es

$$V = - \bm{\mu}_s \cdot \bm{B} \;.$$

En la disposición experimental, el campo $\bm{B}\,$ principalmente está orientado según la dirección transversal $z\,$, perpendicular a la trayectoria de los átomos del haz ($\bm{B}$= $B\bm{\hat{k}}$). Entonces la fuerza ejercida sobre estos átomos

$$\bm{F} = \nabla(\mu_zB) = \mu_z \nabla B_z \;,$$

será en el sentido del campo creciente cuando $\mu_z>0$, mientras que si $\mu_z<0\,$ la fuerza actuará en sentido opuesto. Cuando el átomo se halla en su estado fundamental ($5s$), su momento magnético solo se atribuye al espín del electrón, y se deflectará según su orientación respecto del gradiente de campo: como experimentalmente el haz se desdobla en dos componentes, solo hay dos orientaciones posibles, es decir, paralelo o antiparalelo a $B\,$. Estos dos valores para la proyección del momento angular intrínseco corresponden efectivamente a un valor $s$=1/2, ya que los autovalores $m_s\hbar\,$ de la componente $\hat{S}_z\,$ pueden tomar $2s+1$ valores: $m_s=-s,-s+1,\dots,s-1,s\,$; en nuestro caso $m_s=\pm 1/2\,$.

En la naturaleza cada partícula fundamental tiene un espín específico, que como vimos puede ser entero o semientero. Las primeras se denominan bosones porque obedecen la estadística de Bose-Einstein, y entre ellas se encuentran los mesones pi ($s$=0), los fotones ($s$=1), etc., y cualquier partícula compuesta cuyo momento angular resultante sea entero. Las partículas con espín semientero se rigen por la estadística de Fermi-Dirac por lo que se las llama fermiones, y aquí encontramos a los electrones, protones, neutrones ($s$=1/2), los bariones delta ($s$=3/2), etc.

El experimento de Stern-Gerlach es sumamente importante porque no solo confirma la existencia del espín (además de medir su magnitud), sino que también corrobora las hipótesis de cuantización del momento angular. Pero además sirve para “preparar” un estado cuántico: un haz de partículas sobre cuyo estado no podemos decir nada a priori se desdobla mediante este experimento en componentes cuyos espines tienen una proyección bien definida.