Corrimientos de fase

En la región $r\!>\!a$, las ondas parciales de la expresión (46) pueden también escribirse expresando las soluciones radiales como

$$R_{k\ell}^{{}^>} = \frac{1}{2} \Bigl[ h_\ell^*(kr) + e^{2i\delta_\ell}h_\ell(kr) \Bigr] \;,$$

donde $h_\ell(kr)\equiv h_\ell^{(1)}(kr)\!=\!j_\ell(kr)\!+i n_\ell(kr)$ son las funciones esféricas de Hankel de primera especie. La condición de continuidad de las soluciones en $r\!=\!a$ conecta las funciones anteriores con las soluciones internas $R_{k\ell}^{{}^<}$, lo que --como vimos en casos anteriores-- equivale a igualar las derivadas logarítmicas

$$\alpha_\ell \equiv \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}r}\left(\ln R_{k\el... ...ll^{*}(kr) + e^{2i\delta_\ell} h_\ell(kr)\rule{0em}{1em}}\right\vert _{r=a} ,$$

de donde (ejercicios)

$$e^{2i\delta_\ell}-1 = \left. \frac{2 j_\ell'-\alpha_\ell j_\ell}{\alpha_\ell h_\ell- h_\ell'}\right\vert _{r=a}$$   y$$\qquad \cotg\delta_\ell = \left. \frac{n_\ell'-\alpha_\ell n_\ell}{j_\ell'-\alpha_\ell j_\ell}\right\vert _{r=a} .$$

En el caso de una esfera impenetrable de radio $a$, $R_{k\ell}(a)\!=\!0$ y $\alpha_\ell\!\to\!\infty$, de donde resulta

$$\cotg\delta_\ell = \frac{n_\ell(ka)}{j_\ell(ka)} \;.$$

En particular, para la dispersión de ondas $s$ (sólo $\ell\!=\!0$) se obtiene

$$\delta_o = -ka \qquad \left( \cotg\delta_o = -\frac{\cos(ka)}{{\rm sen}(ka)} \right) \;.$$

Para este potencial repulsivo, el corrimiento de fase resulta negativo.