Primera aproximación de Born

En el caso en que el aporte del segundo miembro de (49) sea pequeño (la probabilidad de que haya dispersión es muy baja), la ecuación integral puede resolverse iterativamente, dando como estimación de orden cero solo el primer término, es decir $\psi^{(0)}(\bm{r})\!=\!\phi_{\rm inc}(\bm{r})\,$; la aproximación de orden 1 consiste en evaluar la integral con la estimación de orden 0, es decir

$$\psi(\bm{r}) = \phi_{\rm inc}(\bm{r}) - \frac{\mu}{2\pi\hbar^2} \... ...r}'\vert}}{\vert\bm{r}-\bm{r}'\vert}\, V(\bm{r}')\,\phi_{\rm inc}(\bm{r}') \;.$$

Este procedimiento puede continuarse hasta el orden deseado, obteniendo así la llamada serie de Born. Cuando el potencial es débil, la estimación de primer orden suele ser suficiente: esta es la primera aproximación de Born, y equivale a aproximar la onda dispersada utilizando la onda plana incidente en la integral de (49). Así, analizando el caso de $r\,$ grandes como en (50), y definiendo $\bm{q}\!=\!\bm{k}_o\!-\bm{k}\,$, de modo que $\hbar\bm{q}\,$ es el momento transferido al centro dispersor, obtenemos para la sección eficaz diferencial

$$\hspace{10em} \fbox{\ \ $\displaystyle \frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{... ...e[-1.2em]{0em}{3em} $\ } \qquad \mbox{\textsl{(primera aproximación de Born)}}$$ (51)

Como estamos considerando que la dispersión es elástica, es decir $k\!=\!k_o\,$, podemos reescribir (ejercicio)

$$q = \vert\bm{k}_o-\bm{k}\vert = 2k\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) \;.$$

Si además el potencial es central podemos elegir para integrar en $\bm{r}'$ el eje $z\,$ apuntando en la dirección de $\bm{q}\,$, de donde $\bm{q}\cdot\bm{r}'\!=\!qr'\cos\theta'$, de manera que

$$\int\,{\rm d}^3 r'\; e^{i{\bm q}\cdot{\bm r}'}\, V(r') = \int_0^\... ...i' = \frac{4\pi}{q} \int_0^\infty\!\!\,{\rm d}r'\;r'\, V(r')\, \sen (qr') \;.$$

La sección eficaz diferencial para un potencial central en la primera aproximación de Born resulta entonces

$$\fbox{\ \ $\displaystyle \frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega} ... ...m d}r'\; r'\,V(r')\, \sen (qr') \right\vert^2 \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$