Dispersión de partículas idénticas

En una descripción clásica de interacción de partículas idénticas, la sección eficaz diferencial siempre debe incluir dos términos,

$$\frac{ {\rm d}\sigma}{ {\rm d}\Omega}{\!}^{\displaystyle(\theta)} + \frac{ {\rm d}\sigma}{ {\rm d}\Omega}{\!}^{\displaystyle(\pi-\theta)} \;,$$

correspondientes a la ambigüedad de detectar cualquiera de las dos partículas que interactúan. En cuántica la situación cambia, pues debe imponerse la simetría adecuada a las funciones de onda que describen el sistema. Por ejemplo, para el caso de bosones, la función de la onda dispersada debe escribirse

$$\psi_{\rm sim}($$${r}$$$) = e^{i{\bm k}_o\cdot{\bm r}} + e^{-i{\bm k}_o\cdot{\bm r}} + f_{\rm sim}(\theta) \frac{ e^{ikr}}{r} \;,$$

donde $f_{\rm sim}(\theta)\!=\!f(\theta)+f(\pi-\theta)$. Entonces, para bosones

$$\left(\frac{ {\rm d}\sigma}{ {\rm d}\Omega}\right)_{\rm bos\acu... ...i-\theta)\Bigr\vert^2 + 2\;{\rm Re} \Bigl[f^*\!(\theta)f(\pi-\theta)\Bigr] \;.$$

Vemos que a la descripción clásica se agrega el tercer término de interferencia, en virtud de la simetrización de la función de onda. En el caso particular de $\theta\!=\!\pi/2$ esta sección eficaz diferencial resulta $4\vert f(\pi/2)\vert^2$, el doble de lo predicho por la clásica.

Analicemos ahora el caso de dos fermiones con espín 1/2. Sabemos que el estado conjunto de espín corresponde a un singlete (antisimétrico) o a los estados del triplete (simétricos). Para que la función de onda global resulte antisimétrica, los estados de espín deben combinarse con funciones de onda espaciales respectivamente simétrica (singlete) o antisimétrica (triplete). La contribución asociada al estado singlete, evaluado con la función espacial simétrica es

$$\frac{ {\rm d}\sigma\!_S}{ {\rm d}\Omega} = \Bigl\vert f(\theta)+f(\pi-\theta)\Bigr\vert^2 \;,$$

mientras que la correspondiente a los estados triplete involucra a la función espacial antisimétrica

$$\frac{ {\rm d}\sigma\!_A}{ {\rm d}\Omega} = \Bigl\vert f(\theta)-f(\pi-\theta)\Bigr\vert^2 \;.$$

Para un haz no polarizado, todos los estados son igualmente probables, por lo cual

$$\left(\frac{ {\rm d}\sigma}{ {\rm d}\Omega}\right)_{1/2} = \frac{3}{4}\frac{ {\rm d}\sigma\!_A}{ {\rm d}\Omega} + \frac{... ...theta)\Bigr\vert^2 + \frac{1}{4} \Bigl\vert f(\theta)+f(\pi-\theta)\Bigr\vert^2$$

$$= \Bigl\vert f(\theta)\Bigr\vert^2 + \Bigl\vert f(\pi-\theta)\Bigr\vert^2 - {\rm Re} \Bigl[f^*\!(\theta)f(\pi-\theta)\Bigr] \;.$$

Aquí también interviene el término de interferencia, y en el caso de $\theta\!=\!\pi/2$ la sección eficaz diferencial resulta $\vert f(\pi/2)\vert^2$, que es la mitad de lo predicho por la clásica para partículas idénticas.

Analicemos finalmente otro ejemplo: se desea obtener la sección eficaz diferencial en la primera aproximación de Born para dos bosones idénticos con espín 1, que interactúan mediante el potencial $V(r)\!=\!V_o e^{-ar}$. Sabemos que los estados de espín posibles son simétricos en los casos del quintuplete $\left\vert 2,m \right\rangle$ y el singlete $\left\vert 0,0 \right\rangle$, mientras que los estados del triplete $\left\vert 1,m \right\rangle$ son antisimétricos. La función de onda global debe ser simétrica, por lo que habrá 6 estados con función de onda espacial simétrica y 3 con función de onda espacial antisimétrica

$$\left(\frac{ {\rm d}\sigma}{ {\rm d}\Omega}\right) = \frac{2}{... ...{ {\rm d}\Omega} + \frac{1}{3}\frac{ {\rm d}\sigma\!_A}{ {\rm d}\Omega} \;.$$

En la primera aproximación de Born

$$f(\theta) = -\frac{2V_o\mu}{\hbar^2 q} \int_0^\infty {\rm d}r\;... ...= -\frac{4 V_o\mu a}{\hbar^2\left[a^2+4k^2{\rm sen}^2(\theta/2)\right]^2} \;,$$

de donde podemos calcular las contribuciones ${\rm d}\sigma\!_S$ y ${\rm d}\sigma\!_A$.