Análisis de ondas parciales

Si bien hasta aquí era importante la hipótesis de que el potencial $V\,$ fuera débil, en muchas situaciones donde esto no ocurre se torna necesaria una descripción más general. Concentrándonos en el caso de potenciales esféricamente simétricos, describimos la onda plana incidente (en la dirección $+z\,$) en términos de los autoestados de $\hat{L}^2\,$

$$e^{i{\bm k}_o\cdot{\bm r}} = e^{ikr\cos\theta} = \sum_{\ell=0}^\infty i^\ell (2\ell+1)\, j_\ell(kr)\, P_\ell(\cos\theta) \;,$$

es decir, una superposición de estados con $\ell\,$ bien definido. Cada una de estas ondas parciales se verá afectada de manera diferente por el centro dispersor, y el análisis que encaramos pretende esclarecer cómo es esa distorsión.

Sabemos que podemos escribir la solución general de la ecuación de Schrödinger para un potencial central como

$$\psi(\bm{r}) = \sum_{\ell,m} c_{\ell m}\,R_{k\ell}(r)\,Y_\ell^m(\theta,\varphi) \;,$$

donde $R_{k\ell}\,$ satisface la ecuación de onda radial

$$\left[\frac{\,{\rm d}^2~}{\,{\rm d}r^2}+k^2-\frac{\ell(\ell+1)}{r... ...rR_{k\ell}(r)\Bigr) = \frac{2\mu}{\hbar^2}\, V(r) \Bigl(rR_{k\ell}(r)\Bigr) \;.$$ (52)

Como en este caso hay invarianza rotacional, $\psi(\bm{r})\,$ no debe depender de $\varphi\,$, de modo que en la expansión anterior solo intervienen los sumandos con $m\!=\!0\,$, y como los $Y_\ell^0\,$ son proporcionales a los $P_\ell\,$

$$\psi(r,\theta) = \sum_\ell^\infty a_\ell\,R_{k\ell}(r)\,P_\ell(\cos\theta) \;.$$ (53)

A partir de la expresión (48), teniendo presente la simetría del problema, podemos escribir (obviando una constante global de normalización)

$$\psi(\bm{r}) = \sum_{\ell=0}^\infty i^\ell (2\ell+1)\, j_\ell(kr)\, P_\ell(\cos\theta) + f(\theta)\,\frac{e^{ikr}}{r} \;,$$

cuyo comportamiento asintótico (para $r\,$ grandes) es el que se registra en los detectores. Recordando que

$$j_\ell(kr) \simeq \frac{\sen (kr-\ell\pi/2)}{kr} \qquad (r\to\infty) \;,$$

tenemos

$$\psi(r,\theta) \simeq \sum_{\ell=0}^\infty i^\ell (2\ell+1)\, P_\... ...os\theta)\, \frac{\sen (kr-\ell\pi/2)}{kr} + f(\theta)\,\frac{e^{ikr}}{r} \;.$$

Reemplazando

$$\sen (kr-\ell\pi/2) = \frac{(-i)^\ell\,e^{ikr}-i^\ell\,e^{-ikr}}{2i}$$

la expresión anterior puede escribirse

$$\psi(r,\theta) \simeq -\frac{e^{-ikr}}{2ikr} \sum_{\ell=0}^\infty... ... + \frac{1}{2ik} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\,P_\ell(\cos\theta) \right] \;.$$ (54)

Por otro lado, para encontrar la forma asintótica de $R_{k\ell\,}$ reescribimos como es habitual la ecuación (52)

$$\left( \frac{\,{\rm d}^2~}{\,{\rm d}r^2} + k^2 \right) \Bigl(rR_{k\ell}(r)\Bigr) = 0 \;,$$

cuya solución conocemos de aquellos inolvidables momentos

$$R_{k\ell}(r) = A_\ell\, j_\ell(kr) + B_\ell\, n_\ell(kr) \;.$$

En el caso en que $V(r)\!=\!0\,$ debemos descartar el último término, ya que las funciones de Neumann divergen en el origen. Aquí en cambio estamos considerando potenciales dispersores no nulos, y estas soluciones son solo válidas para $r\,$ grandes, de modo que en general $B_\ell\neq 0$. El comportamiento asintótico de las funciones de Neumann (para $r\,$ grandes) tampoco esconde secretos para nosotros

$$n_\ell(kr) \simeq -\frac{\cos(kr-\ell\pi/2)}{kr} \qquad (r\to\infty) \;,$$

de manera que

$$R_{k\ell}(r) = A_\ell\, \frac{\sen (kr-\ell\pi/2)}{kr} - B_\ell\... ...= C_\ell\, \frac{\sen (kr-\ell\pi/2+\delta_\ell)}{kr} \qquad (r\to\infty) \;,$$

donde $A_\ell\!=\!C_\ell\,\cos\delta_\ell\,$ y $B_\ell\!=\!-C_\ell\,\sen \delta_\ell\,$, o lo que es equivalente $C_\ell\!=\!\sqrt{A_\ell^2+B_\ell^2}\,$ y $\delta_\ell\!=\!-\arctg (B_\ell/A_\ell)\,$. Aquí se pone en evidencia que si no hay potencial dispersor, $B_\ell\!=\!0\,$ y por lo tanto $\delta_\ell\!=\!0\,~\forall\ell\,$. Es decir, los “corrimientos de fase” $\delta_\ell\,$ miden cuánto difiere $R_{k\ell}(r)\,$ de $j_\ell(kr)\,$, que es la solución correspondiente a $V(r)\!=\!0\,$. La sección eficaz entonces dependerá de las $\delta_\ell\,$, que intervienen en la expresión (53)

$$\psi(r,\theta) = \sum_\ell^\infty a_\ell\,P_\ell(\cos\theta)\, \frac{\sen (kr-\ell\pi/2+\delta_\ell)}{kr} \;.$$

Esta “onda plana distorsionada” difiere de una onda plana en los corrimientos de fase $\delta_\ell\,$. Nuevamente, reescribiendo

$$\sen (kr-\ell\pi/2+\delta_\ell) = \frac{(-i)^\ell\,e^{ikr}\,e^{i\delta_\ell}-i^\ell\,e^{-ikr}\,e^{-i\delta_\ell}}{2i} \;,$$

la expresión anterior queda

$$\psi(r,\theta) = -\frac{e^{-ikr}}{2ikr} \sum_{\ell=0}^\infty a_\e... ...sum_{\ell=0}^\infty a_\ell\,(-i)^\ell\,e^{i\delta_\ell}\,P_\ell(\cos\theta) \;.$$ (55)

Igualando para cada $\ell\,$ los coeficientes de $e^{-ikr}/r\,$ en (54) y (55), llegamos a que

$$(2\ell+1) i^{2\ell} = a_\ell\,i^\ell\,e^{-i\delta_\ell} \qquad\Rightarrow\qquad a_\ell = (2\ell+1)\,i^\ell\,e^{i\delta_\ell} \;.$$

Reemplazando finalmente en (55) e igualando con (54) arribamos a (ejercicio)

$$f(\theta) = \frac{1}{2ik} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\,P_\ell(... ...}^\infty (2\ell+1)\,e^{i\delta_\ell}\, \sen \delta_\ell\,P_\ell(\cos\theta) \;.$$ (56)

Con estas expresiones tenemos

$$\frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega} = \bigl\vert f(\theta)\bi... ...a_\ell\, \sen \delta_{\ell'}\, P_\ell(\cos\theta)\, P_{\ell'}(\cos\theta) \;,$$

de donde, usando las condiciones de ortonormalización para los polinomios de Legendre

$$\int_0^\pi \,{\rm d}\theta\; \sen \theta\, P_\ell(\cos\theta)\, P_{\ell'}(\cos\theta) = \frac{2}{2\ell+1}\delta_{\ell,\ell'}$$

obtenemos (ejercicio)

$$\sigma = \sum_{\ell=0}^\infty \sigma_\ell = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\,\sen ^2\delta_\ell \;.$$ (57)

Nuevamente llegamos a una expresión donde se superponen términos correspondientes a diferentes valores de $\ell\,$, en este caso las secciones eficaces parciales $\sigma_\ell\,$. Como esperamos, cuando $V\!=\!0\,$ se anulan todos los $\delta_\ell\,$, y por lo tanto las secciones eficaces diferencial y total también se anulan. Vale la pena notar que si bien en estas sumatorias intervienen infinitos sumandos, en la mayoría de los casos las series convergen con unos pocos términos (una excepción notable es la dispersión por un potencial coulombiano).

Un importante resultado se obtiene al analizar la dispersión hacia delante ( $\theta\!=\!0$) en la expresión general (56) para la amplitud de dispersión, recordando que $P_\ell(1)=1\;\forall \ell$

$$f(0) = \frac{1}{k} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\, \left(\sen \delta_\ell\cos\delta_\ell + i\,\sen ^2\delta_\ell\right) \;.$$

Comparando con (57) vemos que

$$\fbox{\ \ $\displaystyle \frac{4\pi}{k} {\rm Im}\,f(0) = \sigma =... ...\ell=0}^\infty (2\ell+1)\, \sen ^2\delta_\ell \;. \rule[-1.2em]{0em}{3em} $ }$$

Este es el teorema óptico, casualmente porque es similar a un resultado importante de la óptica referido a la dispersión de la luz. De aquí puede interpretarse que $f(0)\,$ indica el decrecimiento del número de partículas en la dirección original luego de pasar por el centro dispersor.

La amplitud de dispersión (56) puede expresarse en general como

$$f(\theta) = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\,f_\ell(k)\,P_\ell(\cos\theta) \;,$$ (58)

donde cada $f_\ell\,$ se denomina “amplitud de la onda parcial”

$$f_\ell(k) = \frac{1}{k} e^{i\delta_\ell}\,\sen \delta_\ell = \fr... ...ft(e^{2i\delta_\ell}-1\right) = \frac{1}{2ik} \Bigl[ S_\ell(k) - 1 \Bigr] \;.$$

En el caso de dispersión elástica, $\vert S_\ell(k)\vert\!=\!1$, lo que puede interpretarse como conservación de flujo. En cambio cuando hay absorción del haz incidente (es decir, hay pérdida de flujo), redefinimos

$$S_\ell(k) = \eta_\ell(k)\,e^{2i\delta_\ell} \;,$$   con$$\quad 0\le\eta_\ell(k)\le 1 \;,$$

y entonces una medida de esa pérdida está dada por

$$f_\ell(k) = \frac{\eta_\ell(k)\,e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \fra... ... (2\delta_\ell) + i \Bigl(1-\eta_\ell(k) \cos(2\delta_\ell)\Bigr) \right] \;.$$

La sección eficaz elástica total resulta entonces (ejercicio)

$$\sigma_{\rm el} = 4\pi \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) \left\vert ... ...ll+1) \Bigl[ 1 + \eta_\ell^2(k) - 2\eta_\ell(k) \cos(2\delta_\ell) \Bigr] \;,$$

mientras que la sección eficaz inelástica total (a menudo llamada sección eficaz de reacción) tiene en cuenta la pérdida de flujo

$$\sigma_{\rm inel} = \frac{\pi}{k^2} \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1) \Bigl[ 1 - \eta_\ell^2(k) \Bigr] \;.$$

Claramente, si $\eta_\ell(k)\!=\!1$ no hay dispersión inelástica para esa onda parcial; por otro lado, en el caso en que $\eta_\ell(k)\!=\!0$, hay absorción total de la $\ell$-ésima componente.

La sección eficaz total resulta entonces

$$\sigma_{\rm total} = \sigma_{\rm el} + \sigma_{\rm inel} = \frac... ...ell=0}^\infty (2\ell+1) \Bigl[ 1 - \eta_\ell(k) \cos(2\delta_\ell) \Bigr] \;.$$

También aquí podemos comparar esta expresión con $f(0)$, evaluando la (58) para $\theta\!=\!0$, y recuperamos el teorema óptico, pues

$${\rm Im} f(0) = \sum_{\ell=0}^\infty (2\ell+1)\, {\rm Im} f_\ell = \frac{k}{4\pi} \sigma_{\rm total} \;.$$

Es interesante notar que esta identidad extiende su validez al caso de dispersión inelástica.

El problema de determinar los $\delta_\ell\,$, suele ser complicado; sin embargo en algunos casos pueden hacerse simplificaciones que facilitan mucho los cálculos, como es el caso de partículas incidentes poco energéticas. Para analizar esta situación recordemos que en la descripción clásica el parámetro de impacto $d\,$ nos permite escribir el momento angular en términos del impulso lineal $p\,$ como $L\!=\!d\,\cdotp p\,$; como el potencial solo abarca la región $r\!<\!a\,$, la acción del potencial dispersor sobre los momentos angulares mayores que $a\,\cdotp p\,$ será despreciable. Llevado a la cuántica, aproximando $L\!=\!\hbar\sqrt{\ell(\ell\!+\!1)}\simeq\hbar\ell\,$ y recordando que $p\!=\!\hbar k$, la interacción se torna despreciable entonces cuando $\ell>ka\,$; en ese caso, la expansión de ondas parciales solo contará con algunos términos para los cuales $\ell<ka\,$. Si la energía $\hbar^2 k^2/(2m)\,$ del haz incidente es suficientemente baja,

 

entonces $ka\ll 1\,$, de manera que solo el término con $\ell\!=\!0\,$ contribuye a la amplitud de dispersión, que en este caso resulta $$f(\theta) = \frac{1}{k}\,e^{i\delta_o}\sen \delta_o \;,$$ la cual es independiente de $\theta\,$. Esta dispersión isotrópica se denomina dispersión de ondas S, y las secciones eficaces toman una forma muy simple: $$\frac{\,{\rm d}\sigma}{\,{\rm d}\Omega} = \left\vert f_o\right\vert^2 = \frac{1}{k^2}\,\sen ^2\delta_o$$   y$$\qquad \sigma = 4\pi\left\vert f_o\right\vert^2 = \frac{4\pi}{k^2}\,\sen ^2\delta_o \;.$$