Corrimientos de fase

En la región $r\!>\!a$, las ondas parciales de la expresión (53) pueden también escribirse expresando las soluciones radiales como

$$R_{k\ell}^{{}^{>{}}} = D_\ell\,\Bigl[ h_\ell^*(kr) + e^{2i\delta_\ell}h_\ell(kr) \Bigr] \;,$$

donde $D_\ell=(1+iB_\ell/A_\ell)/2\,$ y $\,h_\ell(kr)\equiv h_\ell^{(1)}(kr)\!=\!j_\ell(kr)\!+i\,n_\ell(kr)\,$ son las funciones esféricas de Hankel de primera especie. La condición de continuidad para las soluciones en $r\!=\!a$ conecta las funciones anteriores con las soluciones internas $R_{k\ell}^{{}^{<{}}}$, lo que —como vimos en casos anteriores— equivale a igualar las derivadas logarítmicas

$$\alpha_\ell \equiv \frac{\,{\rm d}~}{\,{\rm d}r}\left(\ln R_{k\el... ...ll^{*}(kr) + e^{2i\delta_\ell}\,h_\ell(kr)\rule{0em}{1em}}\right\vert _{r=a} ,$$

de donde (ejercicios)

$$e^{2i\delta_\ell}-1 = \left. \frac{2\,j_\ell'-\alpha_\ell\,j_\ell}{\alpha_\ell\,h_\ell-\,h_\ell'}\right\vert _{r=a}$$   y$$\qquad \cotg \delta_\ell = \left. \frac{n_\ell'-\alpha_\ell\,n_\ell}{j_\ell'-\alpha_\ell\,j_\ell}\right\vert _{r=a} .$$

En el caso de una esfera impenetrable de radio $a$, $R_{k\ell}(a)\!=\!0\,$ y $\alpha_\ell\!\to\!\infty$, de donde resulta

$$\cotg \delta_\ell = \frac{n_\ell(ka)}{j_\ell(ka)} \;.$$

En particular, para la dispersión de ondas $s$ (solo $\ell\!=\!0$) se obtiene

$$\delta_o = -ka \qquad \left( \cotg \delta_o = -\frac{\cos(ka)}{\sen (ka)} \right) \;.$$

Para este potencial repulsivo, el corrimiento de fase resulta negativo.