Mecánica Cuántica II - 2025: Cuestionario de autoevaluación 1

Estas preguntas no son exhaustivas, pero deberían resultarles medianamente fáciles al momento de presentarse al primer parcial.



  1. Sabiendo que las matrices de Pauli satisfacen \[ \hat{\sigma}_x^2=\hat{\sigma}_y^2=\hat{\sigma}_z^2= \hat{I} \;,\qquad {\rm Tr} (\hat{\sigma}_j) = 0 \;\qquad \mbox{y} \qquad \det\left(\hat{\sigma}_j\right) = -1 \;, \] ¿podemos demostrar que el operador de rotaciones para espín 1/2 toma la forma \[ \hat{U}_{\boldsymbol{\alpha}} = e^{-\frac{i}{2}\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\hat{\sigma}}} = \cos(\alpha/2)\,\hat{I}-i\,{\rm sen}(\alpha/2)\,\hat{\boldsymbol{\alpha}}\cdot\boldsymbol{\hat{\sigma}} \;\mbox{?} \]



  2. ¿Sabemos encontrar la forma matricial de los operadores $\hat{S}_x$ o $\hat{S}_y\,$?  (por ejemplo, para espín $1/2$, $1$ o $3/2$)
    ¿Y sus autovectores?



  3. Para un momento angular $j$ arbitrario es necesaria la forma matricial de la rotación correspondiente a $\boldsymbol{\alpha}=\alpha\,\boldsymbol{e}_z\,$: ¿podemos resolverlo rápidamente? (la respuesta debería ser sí )
    Particularicen para el caso de espín $1/2$, y escriban también ($s=1/2$) la matriz para la rotación según $\boldsymbol{\beta}=\beta\,\boldsymbol{e}_x\,$: ¿cómo resulta? (debería ser casi tan fácil como la anterior)



  4. Disponemos de un espín “up” y le aplicamos un campo magnético $\boldsymbol{B}=B\,\boldsymbol{e}_x\,$. Sin hacer cuentas, ¿podemos describir cómo será su evolución?
    Ahora haciendo las cuentas, ¿cómo será su evolución?
    ¿Sabemos describir el caso en que $\displaystyle\boldsymbol{B}=B\,\frac{\boldsymbol{e}_x+\boldsymbol{e}_z}{\sqrt{2}}$?



  5. Al sumar dos momentos angulares $\boldsymbol{\hat{J}}_1\,$ y $\boldsymbol{\hat{J}}_2\,$ de magnitudes $j_1\,$ y $j_2\neq j_1\,$, ¿entendemos cómo actúa el operador $\boldsymbol{\hat{J}}=\boldsymbol{\hat{J}}_1+\boldsymbol{\hat{J}}_2\,$ sobre los estados $|j_1 m_1\rangle\otimes|j_2 m_2\rangle\,$? ¿O actúan sobre los estados $|j_1,j_2;m_1,m_2\rangle\,$?  (pregunta tramposa)
    Por ejemplo, ¿qué resulta de $\hat{J}_z\big(|j_1 m_1\rangle\otimes|j_2 m_2\rangle\big)\,$?



  6. Recordando que para un espín $1/2$ tenemos $\hat{S}_{1y}=\displaystyle\frac{\hbar}{2}\left(\begin{array}{rr}0&-i\\i&0\end{array}\right)$, y pensando en la suma de 2 espines $1/2$, ¿cómo podemos escribir “directamente” la matriz $\hat{S}_y=\hat{S}_{1y}+\hat{S}_{2y}$ en la base producto?  (producto externo/tensorial)



  7. Supongamos que tenemos una tabla para encontrar los coeficientes de Clebsh-Gordan $\langle j_1,j_2;m_1,m_2|j,m\rangle\,$ que necesitamos. ¿Cómo expresamos el elemento $|5,4\rangle$ (de la base suma) en términos de los elementos de la base producto $|2,3;m_1,m_2\rangle\,$?
    ¿Y para el $|5,-5\rangle\,$ qué elementos intervienen?



  8. Al sumar $j_1=1$ y $j_2=1$, ¿sabemos expresar los elementos de la base suma $|1,m\rangle$ en términos de la base producto sin recurrir a los C-G ?



  9. Para las rotaciones de Euler $R(\phi,\theta,\psi) \equiv R(\psi\,\hat{\boldsymbol{e}}_3) \; R(\theta\,\hat{\boldsymbol{e}}_2) \; R(\phi\,\hat{\boldsymbol{k}})\,$ que vimos en clase, ¿podemos demostrar que $R(\theta\,\hat{\boldsymbol{e}}_2) = R(\phi\,\hat{\boldsymbol{k}})\; R(\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}})\; R^{-1}(\phi\,\hat{\boldsymbol{k}})$?
    ¿Podemos expresar $R(\phi,\theta,\psi)$ en términos de rotaciones respecto de ejes fijos ?



  10. El producto de 2 tensores irreducibles no necesariamente es otro tensor irreducible. ¿Se puede construir un tensor irreducible a partir del producto de dos tensores irreducibles?
    La respuesta es sí : ¿cómo lo harías?



  11. Dados dos operadores tensoriales esféricos $\require{color}\hat{U}_q^{\color{lightgray}(1)}$ y $\require{color}\hat{V}_q^{\color{lightgray}(1)}$ de rango $1$, ¿cómo probamos que $\hat{T}_0^{(0)}\equiv\displaystyle\frac{\hat{U}_{+1}\hat{V}_{-1}+\hat{U}_{-1}\hat{V}_{+1}-\hat{U}_{0}\hat{V}_{0}}{3}$ es efectivamente un tensor de rango $0$?  (¿algún comentario suspicaz?)

    ¿Sabemos responder si $\,\hat{T}_q^{(1)}\equiv\displaystyle\frac{(\boldsymbol{\hat{U}}\times\boldsymbol{\hat{V}})_q}{i\,\sqrt{2}}\,$ es un tensor esférico de rango $1$?

    (hay que hacer algunas cuentas...)



  12. El teorema de teorema de Wigner-Eckart establece que los elementos de matriz $\hat{T}_q^{(k)}$ de un operador tensorial esférico están relacionados con los autoestados de momento angular $|j,m\rangle\,$ según \[ \langle\beta',j',m'|\hat{T}_q^{(k)}|\beta,j,m\rangle = \langle j,k;m,q|j',m'\rangle \langle\beta',j'\|\,\boldsymbol{\hat{T}}^{(k)}\|\beta,j\rangle \] ¿Qué ventajas podríamos extraer de un teorema así?