Rotaciones de Euler

 

Regresamos a los añorados ángulos de Euler, después de tantas gratificaciones en mecánica clásica. Para compatibilizar la notación con todos los textos la mecánica cuántica, rotamos un primer ángulo $\phi$ alrededor del eje $z$, luego un ángulo $\theta$ alrededor del eje $x_2$ (o $y'$) solidario al sistema rotado para inclinar el eje $z$, y finalmente rotamos un ángulo $\psi$ alrededor del eje $x_3$ (o $z'$). En términos de las matrices de rotación, tenemos $$R(\phi,\theta,\psi) \equiv R(\psi\,\hat{\bm{e}_3}) \; R(\theta\,\hat{\bm{e}_2}) \; R(\phi\,\hat{\bm{k}}) \;.$$ En el desarrollo que sigue no es conveniente considerar rotaciones en torno de los ejes solidarios al sistema, sino al sistema fijo. Analizando los efectos

de cada rotación, es directo mostrar (ejercicio) que

$$R(\theta\,\hat{\bm{e}_2}) = R(\phi\,\hat{\bm{k}})\; R(\theta\,\hat{\bm{\jmath}})\; R^{-1}(\phi\,\hat{\bm{k}}) \;,$$

considerando el resultado de cada una de estas transformaciones. Del mismo modo, la última rotación ($\psi$) incorporada arriba en torno del eje $x_3$ solidario al sistema puede expresarse en términos de rotaciones con respecto a los ejes fijos (ejercicio), de modo que

$$R(\psi\,\hat{\bm{e}_3}) = R(\theta\,\hat{\bm{e}_2})\; R(\psi\,\hat{\bm{k}}) \; R^{-1}(\theta\,\hat{\bm{e}_2}) \;.$$

Reuniendo toda esta información demostramos entonces que (ejercicio)

$$R(\phi,\theta,\psi) = R(\phi\,\hat{\bm{k}})\; R(\theta\,\hat{\bm{\jmath}})\; R(\psi\,\hat{\bm{k}}) \;.$$

Veamos el ejemplo de espín $1/2$, donde para cualquier rotación de magnitud $\bm{\varphi}$ tenemos la expresión compacta

$$\hat{U}_{\bm{\varphi}} = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize$i$}}{\mbox{\... .../2)\,\hat{I}-i\,\sen (\varphi/2)\,\hat{\bm{\varphi}}\cdot\bm{\hat{\sigma}} \;,$$

de modo que al explicitar la rotación asociada a $R(\alpha,\beta,\gamma)$ arbitraria en el espacio $j=1/2$ tenemos

$$\mathscr{D}^{(1/2)}(\alpha,\beta,\gamma) = \mathscr{D}^{(1/2)}(\alpha\,\hat{\bm{k}})\;\, \mathscr{D}^{(1/2)}(\beta\,\hat{\bm{\jmath}})\;\, \mathscr{D}^{(1/2)}(\gamma\,\hat{\bm{k}})$$

$$= e^{-i\frac{\mbox{\scriptsize$\alpha$}}{\mbox{\scriptsize 2}}\ha... ...rac{\mbox{\scriptsize$\gamma$}}{\mbox{\scriptsize 2}}\hat{\scriptsize\sigma}_z}$$

$$= \left( \begin{array}{cc} e^{-i\frac{\mbox{\scriptsize$\alpha$}}... ...size$\gamma$}}{\mbox{\scriptsize 2}}} \rule{0em}{2.2em} \end{array} \right) \;.$$ (10)

Vemos que la matriz intermedia de (11) es real, lo cual surge de haber elegido el eje $x_2\;(y')$ para el segundo ángulo de rotación en el esquema de arriba, lo que evita ciertas complicaciones en las cuentas —justificando ese cambio respecto del enfoque que hacíamos en Mecánica Clásica. Resolviendo el producto de matrices en el orden que prefiramos, llegamos a la representación matricial irreducible para el operador de rotación

$$\mathscr{D}^{(1/2)}(\alpha,\beta,\gamma) = \left( \begin{array}{c... ....9}{$\displaystyle\frac{\beta}{2}$} \rule{0em}{2.2em} \end{array} \right) \;.$$

Los elementos de estas “matrices de Wigner”, también llamados “funciones de Wigner”, se evalúan como es habitual

$$\mathscr{D}_{m'm}^{(1/2)}(\alpha,\beta,\gamma) = \left\langle \... ...hscr{D}^{(1/2)}(\alpha,\beta,\gamma)\left\vert \frac{1}{2},m \right\rangle \;,$$

de manera que para el caso general de dimensión $(2j\!+\!1)$ tendremos

$$\mathscr{D}_{m'm}^{(j)}(\bm{\varphi}) = \big\langle j,m'\big\ve... ...scriptsize$\hbar$}}\bm{\varphi}\cdot\bm{\hat{J}}} \big\vert j,m\big\rangle \;,$$

que conforman una matriz diagonal por bloques, ya que nunca se mezclan elementos con diferentes autovalores de $\hat{J}^2$, pues claramente este operador conmuta con los operadores de rotación $\mathscr{D}^{(j)}$. Como ya dijimos anteriormente, cualquiera de estas rotaciones toma un elemento $\left\vert j,m \right\rangle$ y al rotarlo mantiene el autovalor de $\hat{J}^2$, aunque mezclando diferentes proyecciones $\left\vert j,m' \right\rangle$; los elementos de matriz detallados arriba nos permiten expresar la contribución de cada elemento de la base (de ese subespacio) para generar el elemento rotado

$$\left\vert j,m \right\rangle \quad\to\quad \mathscr{D}^{(j)}\left... ...ght\rangle = \sum_{m'}\mathscr{D}_{m'm}^{(j)}\left\vert j,m' \right\rangle \;.$$

Si explicitamos esta expresión para el caso general, tal como hicimos para $j=1/2$, vemos que en cualquier dimensión podemos aprovechar el hecho de que trabajamos con autoestados de $J_z$

$$\mathscr{D}_{m'm}^{(j)}(\alpha,\beta,\gamma) = \big\langle j,m' \... ... = e^{-i(m'\alpha+m\gamma)} \; {\color{MidnightBlue}d_{m'm}^{(j)}(\beta)} \;.$$

Entonces solo convoca nuestra atención la matriz ${\color{MidnightBlue}d^{(j)}(\beta)}$, que habíamos puesto en evidencia para $s\!=\!1/2$. En el caso $j\!=\!1$, a partir de la identidad $\hat{J}_y=(\hat{J}_+-\hat{J}_-)/(2i)$ resulta directo computar $e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\beta{\hat{J}_y}}$, ya que en la expansión de esta exponencial, las potencias de $\hat{J}_y$ se tornan sencillas (ejercicio). Para este caso obtenemos (ejercicio)

$$d^{(1)}(\beta) = \left( \begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{1+... ...& \displaystyle\frac{1+\cos\beta}{2} \rule{0em}{2em} \end{array} \right) \;.$$