Rotaciones de Euler

 

Regresamos a los añorados ángulos de Euler, después de tantas gratificaciones en mecánica clásica. Para compatibilizar la notación con todos los textos la mecánica cuántica, rotamos un primer ángulo $\phi$ alrededor del eje $z$, luego un ángulo $\theta$ alrededor del eje $x_2$ (o $y'$) solidario al sistema rotado para inclinar el eje $z$, y finalmente rotamos un ángulo $\psi$ alrededor del eje $x_3$ (o $z'$). En términos de las matrices de rotación, tenemos $$R(\phi,\theta,\psi) \equiv R(\psi\,\hat{\bm{e}_3}) \; R(\theta\,\hat{\bm{e}_2}) \; R(\phi\,\hat{\bm{k}}) \;.$$ En el desarrollo que sigue no es conveniente considerar rotaciones en torno de los ejes solidarios al sistema, sino al sistema fijo. Analizando los efectos

de cada rotación, es directo mostrar (ejercicio) que

$$R(\theta\,\hat{\bm{e}_2}) = R(\phi\,\hat{\bm{k}})\; R(\theta\,\hat{\bm{\jmath}})\; R^{-1}(\phi\,\hat{\bm{k}}) \;,$$

considerando el resultado de cada una de estas transformaciones. Del mismo modo, la última rotación ($\psi$) incorporada arriba en torno del eje $x_3$ solidario al sistema puede expresarse en términos de rotaciones con respecto a los ejes fijos (ejercicio), de modo que

$$R(\psi\,\hat{\bm{e}_3}) = R(\theta\,\hat{\bm{e}_2})\; R(\psi\,\hat{\bm{k}}) \; R^{-1}(\theta\,\hat{\bm{e}_2}) \;.$$

Reuniendo toda esta información demostramos entonces que (ejercicio)

$$R(\phi,\theta,\psi) = R(\phi\,\hat{\bm{k}})\; R(\theta\,\hat{\bm{\jmath}})\; R(\psi\,\hat{\bm{k}}) \;.$$