Momento angular y rotaciones (Sakurai-Shankar-Zettili)

Habíamos visto que un operador escalar $\hat{A}\,$ es aquel que se mantiene invariante ante rotaciones: al rotar cualquier estado $\left\vert \varphi \right\rangle$ hacia $\left\vert \varphi_R \right\rangle =\hat{U}_{\bm{\alpha}}\left\vert \varphi \right\rangle$, el valor de expectación de $\hat{A}\,$ es el mismo en ambos estados:

$$\left\langle \varphi \right\vert\hat{A}\left\vert \varphi \right\... ...ha}}^\dagger\hat{A}\,\hat{U}_{\bm{\alpha}}\left\vert \varphi \right\rangle \;,$$

de manera que debe cumplirse $\;\hat{U}_{\bm{\alpha}}^\dagger\hat{A}\,\hat{U}_{\bm{\alpha}} = \hat{A}$. Al aplicar una rotación infinitesimal se obtiene una forma equivalente de definir un operador escalar, a través de la nulidad de los conmutadores con el momento angular del espacio sobre el que actúa

$$[\hat{J_\ell},\hat{A}] = 0 \qquad \ell=x,y,z \;,$$

o lo que es lo mismo,

$$[\!\hat{\,J_\pm},\hat{A}] = 0$$   y$$\qquad [\hat{J_z},\hat{A}] = 0 \;.$$

Un operador vectorial $(\hat{V}_x,\hat{V}_y,\hat{V}_z)\,$ se transforma como un vector (de $\mathbb{R}^3$) ante rotaciones

$$\hat{V}_i\, \to\, \hat{U}_{\bm{\alpha}}^\dagger\,\hat{V}_i\,\hat{U}_{\bm{\alpha}} = \sum_j R_{ij}(\bm{\alpha})\hat{V}_j \;,$$ (9)

donde $R(\bm{\alpha})$ es la conocida matriz 3$\times$3 de rotación en 3 dimensiones. Esto es equivalente a imponer que los valores de expectación de las $\hat{V}_i\,$ se transformen como un vector, es decir

$$\left\langle \varphi_R \right\vert\hat{V}_i\left\vert \varphi_R \... ... \left\langle \varphi \right\vert\hat{V}_j\left\vert \varphi \right\rangle \;.$$

También en este caso disponemos de una alternativa para verificar si un operador es vectorial, a través de las relaciones de conmutación con las componentes del momento angular

$$[\hat{V}_j,\hat{J_k}] = i\hbar \textcolor{lightgray}{\sum_\ell} \varepsilon_{jk\ell}\hat{V}_\ell \;.$$

En caso de realizar una rotación opuesta ( $-\bm{\alpha}$), el operador inverso se representa a través de $R^{-1}\!=\!R^T$, ya que la matriz $R\,$ es unitaria y real. Este proceso es equivalente a una rotación pasiva, en la cual, en lugar de pensar en la rotación del sistema físico, se rota el sistema de referencia una magnitud $\bm{\alpha}\,$; en ese caso debemos sustituir $\hat{U}_{\mbox{\scriptsize $\boldsymbol{\bm{\alpha}}$}}$ por $\,\hat{U}_{\mbox{\scriptsize $\boldsymbol{\bm{\alpha}}$}}^\dagger$ en (10), es decir

$$\hat{U}_{\bm{\alpha}} \, \hat{V}_i\, \hat{U}_{\bm{\alpha}}^\dagger = \sum_j R_{ji}(\bm{\alpha}) \hat{V}_j \;;$$

vemos que entonces la suma se realiza sobre el primer índice de $R(\bm{\alpha})$, correspondiendo a los elementos de $R^T$ (esto es equivalente a rotar los elementos de la base en $\bm{\alpha}$).

Antes de detenernos en los detalles de estas notaciones y la generalización a otros casos, repasemos algunos aspectos referidos a las rotaciones en $\mathbb{R}^3$. En primer lugar es importante recordar que la aplicación de sucesivas rotaciones depende del orden en que actúan. Por ejemplo, con respecto a los ejes cartesianos que escojamos, es fácil convencerse de que una rotación $R(\bm{\alpha}\!=\!\pi/2\,\hat{\bm{k}})$ alrededor del eje $z\,$ seguida de una rotación $R(\bm{\alpha}\!=\!\pi/2\,\hat{\bm{\imath}})$ alrededor del eje $x\,$ no resulta equivalente a una rotación $R(\pi/2\,\hat{\bm{\imath}})$ seguida de $R(\pi/2\,\hat{\bm{k}})$.

En el contexto de la mecánica cuántica, nos interesa relacionar las matrices de rotación $R(\bm{\alpha})$ en $\mathbb{R}^3$ con los operadores $\mathscr{D}^{(j)}(\bm{\alpha})$ que producen rotaciones en los vectores de estado del operador momento angular correspondiente, en particular sus autovectores $\left\vert j,m \right\rangle$. Analizando el efecto sucesivo de rotaciones infinitesimales

$$\mathscr{D}^{(j)}(\bm{\delta\alpha}) = \hat{I} - i\,\frac{\bm{\delta\alpha}\cdot\bm{\hat{J}~}}{\hbar} \;,$$

es posible determinar las diferencias que se suscitan al aplicar en diferente orden rotaciones de magnitud $\varepsilon$ pequeño, $R(\varepsilon\hat{\bm{\imath}})$ y $R(\varepsilon\hat{\bm{\jmath}})$: si bien no detallaremos el procedimiento aquí, las relaciones de conmutación de las componentes del operador momento angular pueden asociarse con el efecto de ese cambio en el orden de aplicación de rotaciones sucesivas. Para ello es necesario postular entonces que las matrices de rotación $\mathscr{D}(\bm{\alpha})$ satisfacen las mismas propiedades de grupo (no abeliano) que las matrices $R\,$:

 Identidad: $\quad R(\bm{\alpha})\,\mathbb{I}=R(\bm{\alpha}) \quad \Rightarrow \quad \mathscr{D}(\bm{\alpha})\,{\cal I}=\mathscr{D}(\bm{\alpha})$

 Cierre: $\quad R(\bm{\alpha})\,R(\bm{\beta})=R(\bm{\gamma}) \quad \Rightarrow \quad \mathscr{D}(\bm{\alpha})\,\mathscr{D}(\bm{\beta})=\mathscr{D}(\bm{\gamma})$

 Inversas: $\quad R(\bm{\alpha})\,R^{-1}(\bm{\alpha})=\mathbb{I} \quad \Rightarrow \quad \mathscr{D}(\bm{\alpha})\,\mathscr{D}^{-1}(\bm{\alpha})={\cal I}$

 Asociatividad: $\quad R(\bm{\alpha})\,\big[R(\bm{\beta})\,R(\bm{\gamma})\big] = \big[R(\bm{\alp... ...(\bm{\gamma}) = R(\bm{\alpha})\,R(\bm{\beta})\,R(\bm{\gamma}) \quad \Rightarrow$

$\big[\mathscr{D}(\bm{\alpha})\,\mathscr{D}(\bm{\beta})\big]\,\mathscr{D}(\bm{\g... ...] = \mathscr{D}(\bm{\alpha})\,\mathscr{D}(\bm{\beta})\,\mathscr{D}(\bm{\gamma})$