Suma de momentos angulares (basado en los textos de Shankar, Zettili, Sakurai, etc.)

Hemos visto que cuando tenemos un operador momento angular $\bm{\hat{J}}$ y deseamos rotar el sistema bajo estudio un ángulo de magnitud $\alpha\,$ alrededor de una dirección unitaria $\hat{\bm{\alpha}}\,$ ( $\bm{\alpha}=\alpha\,\hat{\bm{\alpha}}\,$), el operador rotación resulta

$$\hat{U}_{\bm{\alpha}} = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize$i$}}{\mbox{\scriptsize$\hbar$}}\bm{\alpha}\cdot\bm{\hat{J}}} \,.$$ (7)

Para cada rotación según $\bm{\alpha}\,$ que se requiera, puede construirse un operador rotación acorde con la dimensión $2j+1\,$ del espacio afectado, que se corresponde con la magnitud $j\,$ del momento angular, asociada a los autovalores $\hbar^2j(j\!+\!1)\,$ de $\,\hat{\!J}{}^{2}$. Para el caso particular $s\!=\!1/2\,$ se trata de un operador en un espacio de dos dimensiones ($2s\!+\!1$), y suele notarse como $\mathscr{D}^{(1/2)}\,$ para diferenciarlo de rotaciones similares en otros espacios de Hilbert

$$\hat{U}_{\bm{\alpha}} = \cos(\alpha/2)\,\hat{I}-i\,\sen (\alpha/... ...\alpha}}\cdot\bm{\hat{\sigma}} \;\equiv\; \mathscr{D}^{(1/2)}(\bm{\alpha})\;.$$

Cuando es necesario realizar una rotación similar en otro espacio porque trabajamos con otro momento angular, evidentemente existe también el operador correspondiente. Por ejemplo, si deseamos analizar las rotaciones cuando estudiamos el movimiento de una partícula en un potencial central y nos concentramos en el caso de momento angular orbital $\ell\!=\!2\,$, hay un operador

$$\mathscr{D}^{(2)}(\bm{\alpha}) = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $i$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\bm{\alpha}\cdot\bm{\hat{L}}}$$

que nos permite concretar esta transformación. $\bm{\alpha}\,$ siempre es un vector en $\mathbb{R}^3\,$ y lo que cambia en cada situación es $\bm{\hat{J}}$, pues en realidad es un vector columna cuyas componentes son los operadores $\hat{J}_x\,$, $\hat{J}_y\,$ y $\hat{J}_z\,$, los cuales dependen de la dimensión del espacio de Hilbert en cuestión; es decir

$$\bm{\alpha}\cdot\bm{\hat{J}} = \alpha_x\,\hat{J}_x + \alpha_y\,\hat{J}_y + \alpha_z\,\hat{J}_z$$

es un operador en un espacio de dimensión $2j\!+\!1\,$ (actúa sobre vectores columna de $2j\!+\!1\,$ componentes, donde cada componente corresponde a una de las posibles proyecciones de $\hat{J}_z\,$, $m\!=\!-j,-j\!+\!1,\dots,j\!-\!1,j\,$).

Para un electrón en un potencial central tendremos un momento angular total $\,\bm{\hat{J}}\!=\!\bm{\hat{L}}+\bm{\hat{S}}\,$; aunque no conocemos su forma, queda claro que en este caso el operador (7) debe producir las rotaciones en el espacio vectorial correspondiente. Lo mismo ocurre cuando analizamos la interacción entre dos espines, por ejemplo en una partícula compuesta, donde el espín total será la suma de los espines individuales. Como en cualquier caso $\bm{\hat{J}}=\bm{\hat{J}}_1+\bm{\hat{J}}_2\,$ de suma de momentos angulares, cada operador $\bm{\hat{J}}_1$ y $\bm{\hat{J}}_2\,$ actúa sobre un espacio de Hilbert diferente. Podemos pensar al espacio resultante como el producto tensorial de los dos espacios separados

$${\cal H}_{12} = {\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2 \;,$$

y al momento de representar la suma, implícitamente construimos los operadores $\bm{\hat{J}}_1\,$ y $\bm{\hat{J}}_2\,$ para el espacio conjunto como

$$\bigl(\bm{\hat{J}}_1\bigr)_{12} \equiv \,\bm{\hat{J}}_1 \otimes \hat{I}_2$$   y$$\qquad \bigl(\bm{\hat{J}}_2\bigr)_{12}\equiv\hat{I}_1\otimes\,\bm{\hat{J}}_2\;,$$

aunque a menudo simplificamos la notación. Como cada operador actúa sobre el correspondiente espacio de Hilbert, es obvio que

$$[\bm{\hat{J}}_1,\bm{\hat{J}}_2] = 0 \;,$$

con lo cual vemos que se cumplen las relaciones de conmutación para el momento angular total

$$[\hat{J}_j,\hat{J}_k] = i\hbar\,\varepsilon_{jk\ell}\,\hat{J}_\ell \;, \qquad j,k,\ell\; ~~x,y,z \;.$$ (8)

Esto significa que el operador $\bm{\hat{J}}$ resultante es en efecto un momento angular, y podemos encontrar una base $\left\vert jm j_1 j_2 \right\rangle \,$ de autovectores de $\hat{J}^2$ y $\hat{J}_z$ en el espacio ${\cal H}_{12}\,$. Sin embargo, la construcción directa es utilizar los autoestados de $\hat{J}_{1}^2,\hat{J}_{1z},\,\hat{J}_{2}^2$ y $\hat{J}_{2z}$, cuya estructura de autovalores $j_1,m_1,j_2\,$ y $m_2\,$ conocemos; armamos entonces los estados

$$\left\vert jm j_1 j_2 \right\rangle$$   a través de los vectores$$\qquad\left\vert j_1 m_1 \right\rangle \otimes\left\vert j_2 m_2 \right\rangle \;.$$

Estos estados claramente son autovectores de $\hat{J}_z=\hat{J}_{1z}+\hat{J}_{2z}$ con autovalor $\hbar(m_1\!+m_2)\,$, pero no son autoestados de $\hat{J}^2\,$ pues $[\hat{J}^2,\hat{J}_{iz}]\neq0\,$ (ejercicio). Entonces buscamos una base $\left\vert jm j_1 j_2 \right\rangle \,$ que diagonalice también $\hat{J}^2$. Tenemos cierto indicio sobre el resultado, ya que los valores extremos para las proyecciones $m\!=\!m_1\!+m_2\,$ de $\hat{J}_z$ son $\,-(j_1\!+\!j_2)\,$ y $\,+(j_1\!+\!j_2)\,$, lo que sugiere un posible resultado para $j\!=\!j_1\!+\!j_2\,$.