Caso general de suma de momentos angulares

Nos abocamos entonces al cambio de base en una situación general, partiendo de la base producto
$\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle =\left\vert j_1 m_1 \right\rangle \otimes\left\vert j_2 m_2 \right\rangle \,$ hacia la base suma $\left\vert jm j_1 j_2 \right\rangle \,$, conformada por autovectores de $\hat{J}^2, \hat{J}_z, \hat{J}_{1}^2\,$ y $\hat{J}_{2}^2\,$. Sabemos que esta base existe pues se cumplen las relaciones de conmutación (8), y también sabemos que los elementos de la base producto son autovectores de la proyección en $z\,$ de $\bm{\hat{J}}\,$ total, pues

$$\hat{J}_z \left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle = \big(\hat{J... ...m_2 \right\rangle = \hbar(m_1+m_2) \left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle .$$

Vale la pena recordar que $\hat{J}_{1z}$ solo actúa afectando el estado del primer momento angular dejando el segundo inalterado, y algo análogo ocurre con la acción de $\hat{J}_{2z}$. Entonces conocemos los autovalores $\hbar m\,$ de $\hat{J}_z$, donde $m\!=\!m_1\!+\!m_2\,$; como $\,m_1\!=\!-j_1,-j_1\!+\!1,\dots\,j_1\!-\!1,j_1\,$ y $\,m_2\!=\!-j_2,-j_2\!+\!1,\dots\,j_2\!-\!1,j_2\,$, $\;m\,$ también tomará, como esperábamos, valores en intervalos de 1 unidad, ya que también sabemos que los autovalores de $\hat{J}^2$ son $\hbar^2\,j(j\!+\!1)$ con $j\ge0\,$ entero o semientero, y que debe cumplirse

$$\quad m=-j,-j\!+\!1,\dots\,j\!-\!1,j\;.$$

Salvo en los casos extremos $\,m_1\!=\!-j_1,m_2\!=\!-j_2\;$ o $\,m_1\!=\!+j_1,m_2\!=\!+j_2\,$, habrá degeneración para cada valor de $m\!=\!m_1\!+\!m_2\,$, ya que varios pares $(m_1,m_2)\,$ pueden sumar el mismo resultado; por ejemplo, para el caso $\,m\!=\!j_1\!+\!j_2\!-\!2\,$, ese valor se genera con los pares $(j_1,j_2\!-\!2), (j_1\!-\!1,j_2\!-\!1)\,$ y $(j_1\!-\!2,j_2)\,$. Por otro lado los casos extremos proveen valores $\,m\!=\!-(j_1\!+\!j_2)\,$ y $\,m\!=\!+(j_1\!+\!j_2)\,$, de modo que sabemos que un valor posible para $j\,$ es $j_1\!+\!j_2\,$, y además, que ése es el valor máximo posible, pues de otro modo deberían existir las correspondientes proyecciones $m\,$.

Además sabemos que en los casos en los que $\hat{J}_z$ está degenerado es necesario el cambio de base, ya que $\hat{J}^2\,$ no puede ser diagonal: los $\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle$ son autovectores de $\hat{J}_{\ell z}\,$, que son operadores que no conmutan con $\hat{J}^2\,$. Planteemos entonces el cambio de base, expresando los vectores de la base suma $\left\vert j,m \right\rangle \,$ en términos de los elementos de la base producto $\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \,$

$$\left\vert j,m \right\rangle = \Bigg( \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \left\vert j... ...le \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert \Bigg) \left\vert j,m \right\rangle$$

$$= \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \left\langle j_1,j_... ...m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle \; \left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \;.$$

Los coeficientes de Clebsch-Gordan $\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle \,$ definen entonces la matriz de cambio de base. Pronto veremos que estos coeficientes pueden tomarse todos reales, por lo que la matriz es unitaria y real, es decir ortogonal

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = \left\langle j,m \,\vert\, j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \;.$$

La relación de ortonormalización para los coeficientes de Clebsch-Gordan (CG)

$$\sum_{m_1,m_2} \left\langle j',m' \,\vert\, j_1,j_2;m_1,m_2 \righ... ...e j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = \delta_{j',j}\, \delta_{m',m}$$

no es otra cosa que la ortonormalización de la base suma, pues el miembro de la izquierda es $\left\langle j',m' \,\vert\, j,m \right\rangle \,$. Como los CG son reales, podemos escribir esta relación como

$$\sum_{m_1,m_2} \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j',m' \righ... ...1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = \delta_{j',j}\, \delta_{m',m} \;.$$

En particular,

$$\sum_{m_1,m_2} \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle ^2 = 1 \;.$$

Muchos de los CG se anulan, ya que deben cumplirse ciertos requisitos relacionados con el problema concreto que estamos tratando. Por ejemplo, como $\,\hat{J}_z=\!\hat{J}_{1z}+\!\hat{J}_{1z}\,$ se cumple que $\,(\hat{J}_z-\!\hat{J}_{1z}-\!\hat{J}_{1z})\left\vert j,m \right\rangle =0\,$; al proyectar hacia la derecha sobre $\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert\,$ obtenemos

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert(\hat{J_z}-\!\!\hat{\,\;J... ...(m-m_1-m_2) \,\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = 0 \;.$$

Es decir los CG valen cero a menos que $\,m\!=\!m_1\!+\!m_2\,$; por supuesto, esto coincide con nuestras conclusiones previas acerca de la relación entre los autovalores $m_1, m_2\,$ y $m\,$.

Volvamos ahora a la dimensionalidad del espacio suma. Obviamente no puede existir un único valor de $j\!=\!j_1\!+\!j_2\,$, pues la dimensión correspondiente a los kets de este subespacio es $2(j_1\!+\!j_2)\!+\!1\,$, y en general es menor que $(2j_1\!+\!1)(2j_2\!+\!1)\;$ (faltan $4j_1j_2\,$ dimensiones). Además vimos que los valores de $j<j_1\!+\!j_2\,$ están degenerados, y como las proyecciones correspondientes saltan de a 1, es de esperar que $j\,$ también vaya bajando de a 1. Para encontrar cuál es el valor de $j_{\rm m\acute{\i}n}\,$ imponemos que la dimensión de los espacios generados por ambas bases coincida, es decir

$$(2j_1+1)(2j_2+1) = \sum_{j=j_{\rm m\acute{\i}n}}^{j_1+j_2} (2j+1) = (j_1+j_2)(j_1+j_2+2)-j_{\rm m\acute{\i}n}^2+1 \;.$$

Queda como ejercicio demostrar esta última igualdad, utilizando por ejemplo la relación $\sum_{n=1}^{N}\,n=N(N+1)/2\,$, y teniendo cuidado de considerar también el caso de $\,j_1\!+\!j_2\,$ semientero. Se obtiene entonces la condición

$$j_{\rm m\acute{\i}n}^2 = (j_1-j_2)^2 \qquad\Rightarrow\qquad j_{\rm m\acute{\i}n} = \vert j_1-j_2\vert \;,$$

o lo que es lo mismo

$$\vert j_1-j_2\vert \le j \le j_1+j_2 \;.$$

En la literatura suele aludirse a esta condición como desigualdad triangular, ya que tiene reminiscencias de la inecuación que utilizamos al considerar la suma de dos vectores (representados en este caso por $j_1\,$ y $j_2\,$, asociados con $\vert\bm{\hat{J}}_1\vert\,$ y $\vert\bm{\hat{J}}_2\vert\,$). De este modo queda garantizado que en la transformación

$$j_1\otimes j_2 = (j_1+j_2) \oplus (j_1+j_2-1) \oplus \cdots \oplus (\vert j_1-j_2\vert+1) \oplus \vert j_1-j_2\vert$$

la dimensión de los espacios vectoriales generados coincide. Dicho de otro modo, los valores posibles para $j\,$ total son entonces

$$j = \vert j_1\!-\!j_2\vert,\, \vert j_1\!-\!j_2\vert\!+\!1,\,\dots,\,j_1\!+\!j_2\!-\!1,\,j_1\!+\!j_2 \;.$$

Por lo tanto los CG serán distintos de cero solo cuando simultáneamente se cumpla

$$m = m_1 + m_2$$   y$$\qquad \vert j_1-j_2\vert \le j \le j_1+j_2 \;.$$

Estas condiciones se conocen como reglas de selección para los CG.

Como ya dijimos, los casos extremos para los autovalores de $\hat{J}_z$ se dan para $\,m_1\!=\!j_1, m_2\!=\!j_2\;$ o $\,m_1\!=\!-j_1, m_2\!=\!-j_2\,$; los autovalores resultantes son $\,m\!=\!j\;$ o $\,m\!=\!-j\;$ respectivamente, correspondientes a $\,j\!=\!j_1\!+\!j_2$. La relación entre los elementos de la base correspondientes al espacio suma y el espacio producto es unívoca, ya que en estos casos no hay degeneración, es decir

$$\left\vert (j_1+j_2),(j_1+j_2) \right\rangle = \left\vert j_1,j_2;j_1,j_2 \right\rangle$$

$${\color{gray}\bigl(\,\left\vert j,m \right\rangle \,\bigr)}\rule{3.7em}{0em} {\color{gray}\bigl(\,\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \,\bigr)}$$

$$\left\vert (j_1+j_2),-(j_1+j_2) \right\rangle = \left\vert j_1,j_2;-j_1,-j_2 \right\rangle \;,$$

o equivalentemente, en términos de los CG,

$$\left\langle j_1,j_2;j_1,j_2 \,\vert\, (j_1+j_2),(j_1+j_2) \right\rangle = 1$$   y$$\qquad \left\langle j_1,j_2;-j_1,-j_2 \,\vert\, (j_1+j_2),-(j_1+j_2) \right\rangle = 1 \;.$$

El hecho de conocer estos elementos para los valores extremos de $m\,$ nos invita a buscar una relación de recurrencia, la cual permitiría obtener los otros CG a partir de estos. Los operadores

$$\hat{J}_\pm = \hat{J}_{1\pm} + \hat{J}_{2\pm}$$

se presentan como una gran opción, ya que a través de esta identidad conocemos su efecto sobre los elementos de la base producto y de la base suma. Podemos calcular en general los elementos $\,\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert\hat{J}_\pm\left\vert j,m \right\rangle \;$ si hacemos actuar $\hat{J}_\pm$ hacia la derecha,

$$\hat{\;J_\pm}\left\vert j,m \right\rangle = \hbar \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)} \left\vert j,m\pm 1 \right\rangle \;,$$

y el resultado debe ser idéntico al obtenido al aplicar $\hat{J}_{1\pm}\!+\!\hat{J}_{2\pm}$ hacia la izquierda, teniendo en cuenta que en este caso debemos tomar $\,(\hat{J}_{1\pm}\!+\!\hat{J}_{2\pm})^\dagger=\!\hat{J}_{1\mp}\!+\!\hat{J}_{2\mp}\,$. Así, recordando que cada operador actúa sobre el espacio de Hilbert respectivo, obtenemos

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert\hat{J}_\pm\left\vert j,m... ...}_{1\pm} + \hat{J}_{2\pm}\big)\left\vert j,m \right\rangle \qquad\Rightarrow$$

Estas relaciones de recurrencia para los coeficientes de Clebsch-Gordan, junto a la condición de normalización, permiten obtener todos los CG.

Por ejemplo, tomemos el caso $\,m_1\!=\!j_1\;$ y $\,m\!=\!j\,$. Los CG que no se anulan en la relación de recurrencia son solo aquellos para los que $\,m_1\!\!+\!m_2\!=\!m\!\pm\!1\,$, de modo que utilizando los signos de la línea inferior de (9) obtenemos (ejercicio)

$$\sqrt{2j} \left\langle j_1,j_2;j_1,(j-j_1-1) \,\vert\, j,j\!-\!1 ... ...2+j-j_1)} \left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j \right\rangle \;.$$

Vemos que conociendo $\,\left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j \right\rangle \,$ (por ejemplo, en el caso extremo $\,j\!=\!j_1\!+\!j_2\,$) podemos obtener $\,\left\langle j_1,j_2;j_1,(j-j_1-1) \,\vert\, j,j-1 \right\rangle \,$. De manera similar, podemos tomar $\,m_1\!=\!j_1\,$ y $\,m\!=\!j\!-\!1\;$, considerando ahora los signos de la línea superior de (9), es decir $\,m_2\!=\!j\!-\!j_1\,$; entonces resulta la relación

$$\sqrt{2j} \left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j \right\rangle = \sqrt{2j_1} \left\langle j_1,j_2;(j_1\!-\!1),(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j\!-\!1 \right\rangle +$$

$$+\sqrt{(j_2+j-j_1)(j_2-j+j_1+1)} \left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1\!-\!1) \,\vert\, j,j\!-\!1 \right\rangle \;.$$

Esta igualdad permite obtener $\,\left\langle j_1,j_2;(j_1\!-\!1),(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j\!-\!1 \right\rangle \;$ a partir de los coeficientes $\,\left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j \right\rangle \;$ y $\,\left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1\!-\!1) \,\vert\, j,j\!-\!1 \right\rangle \,$. Con esta secuencia entonces podemos hallar todos los CG correspondientes a cada valor de $j\,$ a partir solamente de $\,\left\langle j_1,j_2;j_1,(j\!-\!j_1) \,\vert\, j,j \right\rangle \,$.

Veamos ahora cuántos CG participan en la construcción del estado $\left\vert j,j \right\rangle$. Para ello notemos que el máximo valor de $\,m_1\!=\!j_1\,$ se corresponde con $\,m_2\!=\!j-j_1$; para $\,m_1\!=\!j_1-1\,$ se asocia $\,m_2\!=\!j-j_1+1$, y así hasta llegar al máximo valor que puede tomar $\,m_2\!=\!j_2$, con lo cual $\,m_1\!=\!j-j_2\,$. Podría haber entonces $\,j_1-(j-j_2)+1\!=\!j_1+j_2-j+1\,$ CG no nulos; sin embargo, al utilizar la relación (9) con los signos de la línea superior y $\,m\!=\!j\,$ (un caso extremo) se obtiene

$$0 = \sqrt{(j_1+m_1)(j_1-m_1+1)} \left\langle j_1,j_2;m_1\!-\!1,m_... ...j_2-m_2+1)} \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2\!-\!1 \,\vert\, j,j \right\rangle \;,$$

es decir

$$\left\langle j_1,j_2;m_1\!-\!1,m_2 \,\vert\, j,j \right\rangle = ... ..._1+1)}} \, \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2\!-\!1 \,\vert\, j,j \right\rangle \;.$$

La raíz de la derecha nunca se anula ni diverge: si (para $m_1\!=\!j_1$) vale $\left\langle j_1,j_2;j_1,j\!-\!j_1 \,\vert\, j,j \right\rangle \!=\!0$, entonces también $\left\langle j_1,j_2;j_1\!-\!1,j\!-\!j_1\!+\!1 \,\vert\, j,j \right\rangle \!=\!0$, y por lo tanto todos los CG asociados a $\left\vert j,j \right\rangle$ serían nulos, lo cual es absurdo pues el estado $\left\vert j,j \right\rangle$ es necesario para completar el subespacio de Hilbert correspondiente. Por lo tanto para todos los CG con $m\!=\!j\,$ se cumple

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,j\!-\!m_1 \,\vert\, j,j \right\rangle \neq 0 \qquad (j-j_2 \le m_1 \le j_1) \;.$$

Vemos que las relaciones de recurrencia involucran siempre coeficientes reales, con lo cual solo hay una fase arbitraria común a todos los elementos del subespacio $\,j\,$; por convención se toma siempre $\left\langle j_1,j_2;j_1,j\!-\!j_1 \,\vert\, j,j \right\rangle$ real y positivo. De este modo vemos entonces que todos los CG $\left\langle j_1,j_2;m_1,j\!-\!m_1 \,\vert\, j,j \right\rangle$ son números reales, como habíamos anticipado más arriba; la relación anterior nos permite también notar que su signo es $(-1)^{j_1-m_1}$.

Hay muchas relaciones que pueden derivarse a partir de (9), como por ejemplo (ejercicio)

$$\left\langle j_1,j_2;j_1,(j_2-1) \,\vert\, (j_1+j_2),(j_1+j_2-1) \right\rangle = \sqrt{\frac{j_2}{j_1+j_2}} \;,$$

y también, como era de esperar (¿por qué?)

$$\hspace{8em} \left\langle j,0;m,0 \,\vert\, j,m \right\rangle = 1 \;.$$

Todas estas relaciones implican (aunque no lo probemos aquí)

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = (-1)^{j-j_1-j_2} \left\langle j_2,j_1;m_2,m_1 \,\vert\, j,m \right\rangle \;,$$

y por ende

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = (-1)^{... ...ght\rangle = \left\langle j_2,j_1;-m_2,-m_1 \,\vert\, j,-m \right\rangle \;.$$

Entonces no es necesario calcular todos los CG, sino solo aquellos con $m\ge0\,$, aprovechando las simetrías señaladas.

Al momento de utilizar la relación de recurrencia (9) es conveniente tener claro en qué dirección orientar la estrategia. Para ello es preciso visualizar cuál es el resultado luego de aplicar $\hat{J}_{+}$ o $\hat{J}_{-}$; una forma de hacerlo es inspeccionar la situación en el plano $m_1$-$m_2\,$, notando que la acción de $\hat{J}_{+}$ relaciona el CG que involucra a $(m_1,m_2)\,$ con los CG que tienen $(m_1\!-\!1,m_2)\,$ y $(m_1,m_2\!-\!1)\,$, mientras que $\hat{J}_{-}$ asocia el CG con $(m_1,m_2)\,$ a los CG con $(m_1\!+\!1,m_2)$ y $(m_1,m_2\!+\!1)\,$. Esta visualización nos indica hacia dónde plantear la búsqueda cuando ya conocemos algún CG, desplazándonos en el plano $m_1$-$m_2\,$ en pasos de a 1. Por ejemplo si analizamos cierto valor de $j\,$, sabemos que debe cumplirse que $\,\vert m_1\vert\le j_1\,$, $\,\vert m_2\vert\le j_2\;$ y $\,-j\le m_1\!+\!m_2\le+j\,$, es decir, dentro del

 

 

polígono señalado en la figura. Supongamos que el CG conocido corresponde al punto $a\,$; es conveniente relacionarlo con un solo coeficiente desconocido, por ejemplo $b\,$, de modo que lo más adecuado en este caso es utilizar la relación (9) correspondiente a $\hat{J}_{-}$, porque en ese caso conectamos con el punto deseado y también con otro punto fuera del área permitida, es decir un CG que se anula. Así podemos continuar conectando con puntos individuales desconocidos hasta completar el conjunto de coeficientes deseados.

Un ejemplo de la aplicación de esta estrategia es el caso en que se suma el momento angular orbital $\bm{\hat{L}}\,$ de un electrón y su momento angular intrínseco $\bm{\hat{S}}\,$

$$\bm{\hat{J}} = \bm{\hat{L}} + \bm{\hat{S}} \;,$$

que es un caso sumamente relevante en física atómica. Tomamos $\,j_1\!=\!\ell\; (\ge 0)\,$, $\,m_1\!=\!m_\ell\,$, $\,j_2\!=\!s\!=\!1/2\;$ y $\,m_2\!=\!m_s\!=\!\pm 1/2\,$. Los valores permitidos para los autovalores de $\hat{J}^2\,$ son

$$j = \ell \pm \frac{1}{2}$$   si $\,\ell>0$            o$$\quad\qquad j = \frac{1}{2}$$   si $\,\ell=0$$$\;.$$

En notación espectroscópica debe agregarse ahora el valor del $j\,$ resultante, ya que tenemos dos resultados posibles para cada $\ell\neq0\,$; por ejemplo los estados con $\ell\!=\!1\,$ se subdividen en en $\,p_{1/2}\;$ y $\,p_{3/2}\,$.

 

En el plano $m_\ell$-$m_s\,$ los sitios disponibles se distribuyen en dos filas como en la figura: la superior con $m_s\!=\!1/2\,$ y la inferior con $m_s\!=\!-1/2\,$. Concentrándonos en el caso $j\!=\!\ell\!+\!1/2\,$, en virtud de que $m_s\,$ no puede ser mayor que 1/2, podemos utilizar $\hat{J}_{-}$, de modo que recorremos la fila superior (con $m_s\!=\!1/2\,$). Omitiendo en la notación $\,j_1\!=\!\ell\;$ y $\,j_2\!=\!1/2\;$ en los CG, consideramos la relación de recurrencia (9) sustituyendo $m\to m\!-\!1$, y luego tomando $\,m_\ell\!=\!m\!-\!1/2\,$

 

$$\sqrt{\left(\ell+\frac{1}{2}+m+1\right)\left(\ell+\frac{1}{2}-m\right)} \left\langle m-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},m \right\rangle \; =$$

$$= \; \sqrt{\left(\ell-m+\frac{1}{2}\right)\left(\ell+m+\frac{1}{2... ...m+\frac{1}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},m+1 \right\rangle \;.$$

De este modo, nos desplazamos asociando el CG con $\,m_\ell\!=\!m\!-\!1/2\;$ con el de $\,m_\ell\!=\!m\!+\!1/2\,$, obteniendo sucesivamente

$$\left\langle m-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},m \right\rangle = \sqrt{\frac{\ell+m+1/2}{\ell+m+3/2}} \left\langle m+\frac{1}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},m+1 \right\rangle$$

$$= \sqrt{\frac{\ell+m+1/2}{\ell+m+3/2}}\sqrt{\frac{\ell+m+3/2}{\el... ...m+\frac{3}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},m+2 \right\rangle \;.$$

Continuamos con esta asociación hasta el valor máximo $m_\ell\!=\!\ell\,$

$$\left\langle m-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{... ...\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},\ell+\frac{1}{2} \right\rangle \;.$$

Como discutimos más arriba, el CG de la derecha es 1, de modo que

$$\left\langle m-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \,\bigg\vert\, \ell+\frac{1}{2},m \right\rangle = \sqrt{\frac{\ell+m+1/2}{2\ell+1}} \;.$$

Finalmente podemos construir los espinores autofunciones de $\hat{J}^2$ y $\hat{J}_z$ con autovalores $\,m\!=\!m_\ell\!+\!m_s\;$ y $\,j\!=\!\ell\!\pm\!1/2\,$

$$\mathscr{Y}_{\ell}^{\ell\pm 1/2,m}(\theta,\varphi) = \frac{1}{\s... ...1/2}\;\, Y_\ell^{m+1/2}(\theta,\varphi)\rule{0em}{1.8em}\end{array}\right) \;.$$

Por construcción, estas funciones espín-angulares son autofunciones de $\hat{J}^2$, $\hat{L}^2\,$, $\hat{S}^2\,$ y $\hat{J}_z$, con autovalores respectivos $\,\hbar^2\,j(j\!+\!1),\; \hbar^2\,\ell(\ell\!+\!1),\; 3\hbar^2/4\,$ y $\,\hbar m\,$. También son autofunciones de $\bm{\hat{L}}\cdot\bm{\hat{S}}\,$, ya que

$$\bm{\hat{L}}\cdot\bm{\hat{S}} = \frac{1}{2} \left(\hat{J~}\!\!^2 -\hat{L}^2 - \hat{S}^2 \right) \;.$$

El acoplamiento espín-órbita $\bm{\hat{L}}\cdot\bm{\hat{S}}\,$ es muy importante en la descripción atómica, ya que aparece en el hamiltoniano reflejando la interacción entre el momento magnético asociado con el momento angular orbital $\bm{\mu}_L\,$ de los electrones y el momento magnético intrínseco $\bm{\mu}_s\,$ de los mismos. Denotando $\left\vert n\ell j m \right\rangle \,$ a las funciones resultantes $R_{n\ell}(r)\;\mathscr{Y}_{\ell}^{\ell\pm 1/2,m}(\theta,\varphi)\,$, puede mostrarse que (ejercicio)

$$\left\langle n\ell j m \right\vert\bm{\hat{L}}\cdot\bm{\hat{S}}\l... ...\hbar^2 && \mbox{si } j=\ell-\frac{1}{2} \rule{0em}{2em} \end{array} \right.$$

La relación de recurrencia (9) no es otra cosa que la aplicación de los operadores $\hat{J}_{\pm}$ según nuestra conveniencia. En algunas ocasiones no se justifica pensar en los CG sino directamente asociar los elementos de la base suma y producto mediante la acción de estos operadores. Veamos el caso concreto de la suma de dos momentos angulares de magnitud 1 ( $j_1\!=\!j_2\!=\!1$), prescindiendo del uso de los CG. El espacio ${\cal H}_{12}$ resultante tiene 9 dimensiones ( $3\times3\!=\!5\!+\!3\!+\!1$), y suponemos conocida la base producto $\left\vert m_1,m_2 \right\rangle$ (como antes, omitimos $j_1\,$ y $j_2\,$ en la notación), con $m_i\!=\!+1,0,-1$; nos interesa expandir en términos de esta base a los elementos de la base suma $\left\vert j,m \right\rangle$ (autovectores de $\hat{J}^2$ y $\hat{J}_z$). Lo primero que establecemos es el caso extremo

$$\left\vert 2,2 \right\rangle = \left\vert 1,1;1,1 \right\rangle$$   (y del mismo modo anticipamos el $\left\vert 2,-2 \right\rangle$)$$\;.$$

Aplicando $\hat{J}_-$ obtenemos

$$\left\vert 2,1 \right\rangle = \frac{1}{2\hbar} \hat{J}_-\left\ve... ...,1 \right\rangle + \hbar\sqrt{2}\,\left\vert 1,1;1,0 \right\rangle \right] \;,$$

de donde

$$\left\vert 2,1 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \,\left\vert 1,1;0,1 \right\rangle + \left\vert 1,1;1,0 \right\rangle \bigr) \;.$$

De manera similar, aplicando sucesivamente $\hat{J}_-$ a esta expresión resulta

$$\left\vert 2,0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}} \bigl( \,\left\vert 1,1;1,-1 \right\rangle + 2\left\vert 1,1;0,0 \right\rangle + \left\vert 1,1;-1,1 \right\rangle \bigr)$$

$$\left\vert 2,-1 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \,\left\vert 1,1;0,-1 \right\rangle + \left\vert 1,1;-1,0 \right\rangle \bigr)$$

$$\left\vert 2,-2 \right\rangle = \left\vert 1,1;-1,-1 \right\rangle \;,$$

completando así el subespacio $j=\!2$. Para el caso $j=\!1$ comenzamos con el mayor valor de $m$, es decir el elemento $\left\vert 1,1 \right\rangle$; los únicos sumandos que pueden contribuir deben cumplir $m_1\!+\!m_2\!=\!1$, por lo tanto

$$\left\vert 1,1 \right\rangle = \alpha \left\vert 1,1;1,0 \right\rangle + \beta \left\vert 1,1;0,1 \right\rangle \;.$$

Como los elementos de la base suma deben ser ortogonales, buscamos entre el subespacio de $j\!=\!2$ un estado donde intervengan estos elementos de la base producto; en este caso

$$\left\langle 2,1 \,\vert\, 1,1 \right\rangle = 0 \quad\Rightarrow \quad \alpha + \beta = 0 \;.$$

Recordando que estos coeficientes son reales, y que la convención es elegir $\alpha>0$, resulta

$$\left\vert 1,1 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \,\left\vert 1,1;1,0 \right\rangle - \left\vert 1,1;0,1 \right\rangle \bigr)$$

(como mostramos arriba, ninguno de los coeficientes se anula.) Al igual que en el caso anterior, aplicamos $\hat{J}_-$ para obtener los otros elementos de este subespacio, con lo cual

$$\left\vert 1,0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl( \,\left\vert 1,1;1,-1 \right\rangle - \left\vert 1,1;-1,1 \right\rangle \bigr)$$   y$$\qquad \left\vert 1,-1 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigl(... ...eft\vert 1,1;0,-1 \right\rangle - \left\vert 1,1;-1,0 \right\rangle \bigr) \;.$$

(Vale la pena notar que en la expansión del $\left\vert 1,0 \right\rangle$ no interviene el $\left\vert 1,1;0,0 \right\rangle$, o lo que es lo mismo, se anula el CG $\left\langle 1,1;0,0 \,\vert\, 1,0 \right\rangle$.)

Para el subespacio $j\!=\!0$, construimos de manera similar el único estado

$$\left\vert 0,0 \right\rangle = a \left\vert 1,1;1,-1 \right\rangle + b \left\vert 1,1;0,0 \right\rangle + c \left\vert 1,1;-1,1 \right\rangle \;.$$

Imponiendo que el $\left\vert 2,0 \right\rangle$ y el $\left\vert 1,0 \right\rangle$ deben ser ortogonales al $\left\vert 0,0 \right\rangle$ se obtiene $a\!=\!c\!=\!-b>0$, de modo que

$$\left\vert 0,0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \bigl( \,\left\... ...left\vert 1,1;0,0 \right\rangle + \left\vert 1,1;-1,1 \right\rangle \bigr) \;.$$