Caso general de suma de momentos angulares

Nos abocamos entonces al cambio de base en una situación general, partiendo de la base producto
$\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle =\left\vert j_1 m_1 \right\rangle \otimes\left\vert j_2 m_2 \right\rangle \,$ hacia la base suma $\left\vert jm j_1 j_2 \right\rangle \,$, conformada por autovectores de $\hat{J}^2, \hat{J}_z, \hat{J}_{1}^2\,$ y $\hat{J}_{2}^2\,$. Sabemos que esta base existe pues se cumplen las relaciones de conmutación (8), y también sabemos que los elementos de la base producto son autovectores de la proyección en $z\,$ de $\bm{\hat{J}}\,$ total, pues

$$\hat{J}_z \left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle = \big(\hat{J... ...m_2 \right\rangle = \hbar(m_1+m_2) \left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle .$$

Vale la pena recordar que $\hat{J}_{1z}$ solo actúa afectando el estado del primer momento angular dejando el segundo inalterado, y algo análogo ocurre con la acción de $\hat{J}_{2z}$. Entonces conocemos los autovalores $\hbar m\,$ de $\hat{J}_z$, donde $m\!=\!m_1\!+\!m_2\,$; como $\,m_1\!=\!-j_1,-j_1\!+\!1,\dots\,j_1\!-\!1,j_1\,$ y $\,m_2\!=\!-j_2,-j_2\!+\!1,\dots\,j_2\!-\!1,j_2\,$, $\;m\,$ también tomará, como esperábamos, valores en intervalos de 1 unidad, ya que también sabemos que los autovalores de $\hat{J}^2$ son $\hbar^2\,j(j\!+\!1)$ con $j\ge0\,$ entero o semientero, y que debe cumplirse

$$\quad m=-j,-j\!+\!1,\dots\,j\!-\!1,j\;.$$

Salvo en los casos extremos $\,m_1\!=\!-j_1,m_2\!=\!-j_2\;$ o $\,m_1\!=\!+j_1,m_2\!=\!+j_2\,$, habrá degeneración para cada valor de $m\!=\!m_1\!+\!m_2\,$, ya que varios pares $(m_1,m_2)\,$ pueden sumar el mismo resultado; por ejemplo, para el caso $\,m\!=\!j_1\!+\!j_2\!-\!2\,$, ese valor se genera con los pares $(j_1,j_2\!-\!2), (j_1\!-\!1,j_2\!-\!1)\,$ y $(j_1\!-\!2,j_2)\,$. Por otro lado los casos extremos proveen valores $\,m\!=\!-(j_1\!+\!j_2)\,$ y $\,m\!=\!+(j_1\!+\!j_2)\,$, de modo que sabemos que un valor posible para $j\,$ es $j_1\!+\!j_2\,$, y además, que ese es el valor máximo posible, pues de otro modo deberían existir las correspondientes proyecciones $m\,$.

Además sabemos que en los casos en los que $\hat{J}_z$ está degenerado es necesario el cambio de base, ya que $\hat{J}^2\,$ no puede ser diagonal: los $\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle$ son autovectores de $\hat{J}_{\ell z}\,$, que son operadores que no conmutan con $\hat{J}^2\,$. Planteemos entonces el cambio de base, expresando los vectores de la base suma $\left\vert j,m \right\rangle \,$ en términos de los elementos de la base producto $\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \,$

	$$\left\vert j,m \right\rangle$$	$$= \Bigg( \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \left\vert j... ...le \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert \Bigg) \left\vert j,m \right\rangle$$
		$$= \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \left\langle j_1,j_... ...m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle \; \left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \;.$$

Los coeficientes de Clebsch-Gordan $\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle \,$ definen entonces la matriz de cambio de base. Pronto veremos que estos coeficientes pueden tomarse todos reales, por lo que la matriz es unitaria y real, es decir ortogonal

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = \left\langle j,m \,\vert\, j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \;.$$

La relación de ortonormalización para los coeficientes de Clebsch-Gordan (CG)

$$\sum_{m_1,m_2} \left\langle j',m' \,\vert\, j_1,j_2;m_1,m_2 \righ... ...e j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = \delta_{j',j}\, \delta_{m',m}$$

no es otra cosa que la ortonormalización de la base suma, pues el miembro de la izquierda es $\left\langle j',m' \,\vert\, j,m \right\rangle \,$. Como los CG son reales, podemos escribir esta relación como

$$\sum_{m_1,m_2} \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j',m' \righ... ...1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = \delta_{j',j}\, \delta_{m',m} \;.$$

En particular,

$$\sum_{m_1,m_2} \left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle ^2 = 1 \;.$$

Muchos de los CG se anulan, ya que deben cumplirse ciertos requisitos relacionados con el problema concreto que estamos tratando. Por ejemplo, como $\,\hat{J}_z=\!\hat{J}_{1z}+\!\hat{J}_{1z}\,$ se cumple que $\,(\hat{J}_z-\!\hat{J}_{1z}-\!\hat{J}_{1z})\left\vert j,m \right\rangle =0\,$; al proyectar hacia la derecha sobre $\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert\,$ obtenemos

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert(\hat{J_z}-\!\!\hat{\,\;J... ...(m-m_1-m_2) \,\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \,\vert\, j,m \right\rangle = 0 \;.$$

Es decir los CG valen cero a menos que $\,m\!=\!m_1\!+\!m_2\,$; por supuesto, esto coincide con nuestras conclusiones previas acerca de la relación entre los autovalores $m_1, m_2\,$ y $m\,$.

Volvamos ahora a la dimensionalidad del espacio suma. Obviamente no puede existir un único valor de $j\!=\!j_1\!+\!j_2\,$, pues la dimensión correspondiente a los kets de este subespacio es $2(j_1\!+\!j_2)\!+\!1\,$, y en general es menor que $(2j_1\!+\!1)(2j_2\!+\!1)\;$ (faltan $4j_1j_2\,$ dimensiones). Además vimos que los valores de $j<j_1\!+\!j_2\,$ están degenerados, y como las proyecciones correspondientes saltan de a 1, es de esperar que $j\,$ también vaya bajando de a 1. Para encontrar cuál es el valor de $j_{\rm m\acute{\i}n}\,$ imponemos que la dimensión de los espacios generados por ambas bases coincida, es decir

$$(2j_1+1)(2j_2+1) = \sum_{j=j_{\rm m\acute{\i}n}}^{j_1+j_2} (2j+1) = (j_1+j_2)(j_1+j_2+2)-j_{\rm m\acute{\i}n}^2+1 \;.$$

Queda como ejercicio demostrar esta última igualdad, utilizando por ejemplo la relación $\sum_{n=1}^{N}\,n=N(N+1)/2\,$, y teniendo cuidado de considerar también el caso de $\,j_1\!+\!j_2\,$ semientero. Se obtiene entonces la condición

$$j_{\rm m\acute{\i}n}^2 = (j_1-j_2)^2 \qquad\Rightarrow\qquad j_{\rm m\acute{\i}n} = \vert j_1-j_2\vert \;,$$

o lo que es lo mismo

$$\vert j_1-j_2\vert \le j \le j_1+j_2 \;.$$

En la literatura suele aludirse a esta condición como desigualdad triangular, ya que tiene reminiscencias de la inecuación que utilizamos al considerar la suma de dos vectores (representados en este caso por $j_1\,$ y $j_2\,$, asociados con $\vert\bm{\hat{J}}_1\vert\,$ y $\vert\bm{\hat{J}}_2\vert\,$). De este modo queda garantizado que en la transformación

$$j_1\otimes j_2 = (j_1+j_2) \oplus (j_1+j_2-1) \oplus \cdots \oplus (\vert j_1-j_2\vert+1) \oplus \vert j_1-j_2\vert$$

la dimensión de los espacios vectoriales generados coincide. Dicho de otro modo, los valores posibles para $j\,$ total son entonces

$$j = \vert j_1\!-\!j_2\vert,\, \vert j_1\!-\!j_2\vert\!+\!1,\,\dots,\,j_1\!+\!j_2\!-\!1,\,j_1\!+\!j_2 \;.$$

Por lo tanto, para que los CG sean distintos de cero simultáneamente debe cumplirse

$$m = m_1 + m_2$$   y$$\qquad \vert j_1-j_2\vert \le j \le j_1+j_2 \;.$$

Estas condiciones se conocen como reglas de selección para los CG.

Como ya dijimos, los casos extremos para los autovalores de $\hat{J}_z$ se dan para $\,m_1\!=\!j_1, m_2\!=\!j_2\;$ o $\,m_1\!=\!-j_1, m_2\!=\!-j_2\,$; los autovalores resultantes son $\,m\!=\!j\;$ o $\,m\!=\!-j\;$ respectivamente, correspondientes a $\,j\!=\!j_1\!+\!j_2$. La relación entre los elementos de la base correspondientes al espacio suma y el espacio producto es unívoca, ya que en estos casos no hay degeneración, es decir

	$$\left\vert (j_1+j_2),(j_1+j_2) \right\rangle =$$	$$\left\vert j_1,j_2;j_1,j_2 \right\rangle$$
	$${\color{gray}\bigl(\,\left\vert j,m \right\rangle \,\bigr)}\rule{3.7em}{0em}$$	$${\color{gray}\bigl(\,\left\vert j_1,j_2;m_1,m_2 \right\rangle \,\bigr)}$$
	$$\left\vert (j_1+j_2),-(j_1+j_2) \right\rangle =$$	$$\left\vert j_1,j_2;-j_1,-j_2 \right\rangle \;,$$

o equivalentemente, en términos de los CG,

$$\left\langle j_1,j_2;j_1,j_2 \,\vert\, (j_1+j_2),(j_1+j_2) \right\rangle = 1$$   y$$\qquad \left\langle j_1,j_2;-j_1,-j_2 \,\vert\, (j_1+j_2),-(j_1+j_2) \right\rangle = 1 \;.$$

El hecho de conocer estos elementos para los valores extremos de $m\,$ nos invita a buscar una relación de recurrencia, la cual permitiría obtener los otros CG a partir de estos. Los operadores

$$\hat{J}_\pm = \hat{J}_{1\pm} + \hat{J}_{2\pm}$$

se presentan como una opción de lo más atractiva, ya que a través de esta identidad conocemos su efecto sobre los elementos de la base producto y de la base suma. Podemos calcular en general los elementos de matriz $\,\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert\hat{J}_\pm\left\vert j,m \right\rangle \;$ si hacemos actuar $\hat{J}_\pm$ hacia la derecha,

$$\hat{\;J_\pm}\left\vert j,m \right\rangle = \hbar \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)} \left\vert j,m\pm 1 \right\rangle \;,$$

y el resultado debe ser idéntico al obtenido al aplicar $\hat{J}_{1\pm}\!+\!\hat{J}_{2\pm}$ hacia la izquierda, teniendo en cuenta que en este caso debemos tomar $\,(\hat{J}_{1\pm}\!+\!\hat{J}_{2\pm})^\dagger=\!\hat{J}_{1\mp}\!+\!\hat{J}_{2\mp}\,$. Así, recordando que cada operador actúa sobre el espacio de Hilbert respectivo, obtenemos

$$\left\langle j_1,j_2;m_1,m_2 \right\vert\hat{J}_\pm\left\vert j,m... ...}_{1\pm} + \hat{J}_{2\pm}\big)\left\vert j,m \right\rangle \qquad\Rightarrow$$

Estas relaciones de recurrencia para los coeficientes de Clebsch-Gordan, junto a la condición de normalización, permiten obtener todos los CG.