Suma de dos espines 1/2 (Shankar)

Antes de avanzar sobre el caso general, analicemos el caso concreto de suma de dos espines $\bm{\hat{S}}_1$ y $\bm{\hat{S}}_2$ de magnitud $1/2$, es decir, queremos resolver $\bm{\hat{S}}=\bm{\hat{S}}_1+\bm{\hat{S}}_2\,$, partiendo de la base generada para el espacio producto. Para ello usamos la notación

$$\left\vert ++ \right\rangle \equiv\left\vert + \right\rangle \!\o... ...ngle \equiv\left\vert + \right\rangle \!\otimes\!\left\vert - \right\rangle \;,$$   etc.,

es decir, omitimos los índices $s_1\,$ y $s_2\,$ pues se mantienen constantes en toda la descripción. Tenemos así la base de autovectores de $\hat{S}_1^2, \hat{S}_{1z}, \hat{S}_2^2\,$ y $\hat{S}_{2z}$ —que ingeniosamente llamamos base producto—, y nos interesa cambiar a la base de autovectores de $\hat{S}^2, \hat{S}_{z}, \hat{S}_1^2\,$ y $\hat{S}_2^2\,$ (base suma). Este cambio de base es esencialmente el problema de sumar momentos angulares.

Analizando el operador $\hat{S}_z$ (que puede representarse mediante una matriz $4\times 4$), es directo mostrar que

$$\hat{S}_z\left\vert ++ \right\rangle = \big(\hat{S}_{1z}+\hat{S}_{2z}\big)\left\vert ++ \right\rangle = +\hbar\left\vert ++ \right\rangle$$

$$\hat{S}_z\left\vert +- \right\rangle = 0\left\vert +- \right\rangle$$

$$\hat{S}_z\left\vert -+ \right\rangle = 0\left\vert -+ \right\rangle$$

$$\hat{S}_z\left\vert -- \right\rangle = -\hbar\left\vert -- \right\rangle$$

Dejando los detalles como ejercicio, vale la pena recordar que aquí $\hat{S}_{1z}$ actúa solo sobre el estado del primer espín, dejando inalterado el segundo, y con $\hat{S}_{2z}$ ocurre algo análogo. Entonces la representación matricial para este operador resulta

$$\hat{S}_z = \hbar \begin{array}{c} % QUEDA CORRIDA LA CAJA EN EL ... ...4em}\color{pink}\fbox{\rule[-0.68em]{0em}{1.8em}\rule{3.7em}{0em}}\hspace{5em}$$

Claramente, el subespacio correspondiente a $m\!=\!0\,$ es degenerado; cualquier combinación lineal $\,\alpha\left\vert +- \right\rangle +\beta\left\vert -+ \right\rangle \,$ tiene asociado un $m\!=\!0\,$, aun cuando puede tener indefinido su estado respecto de $\hat{S}_{1z}$ y $\hat{S}_{2z}$ (no es autoestado de estos operadores a menos que $\,\alpha\!=\!0\,$ o $\,\beta\!=\!0\,$).

Para encontrar la representación matricial de $\hat{S}^2\,$, escribimos primero

$$\hat{S}^2 = \big(\bm{\hat{S}}_1+\bm{\hat{S}}_2\big)^2 = \hat{S}_1^2 + \hat{S}_2^2 + 2 \bm{\hat{S}}_1\cdot\bm{\hat{S}}_2 \;.$$

Utilizando las definiciones de los operadores subidor y bajador para cada espín

$$\hat{S}_{1\pm} = \hat{S}_{1x} \pm i\hat{S}_{1y}$$   y$$\qquad \hat{S}_{2\pm} = \hat{S}_{2x} \pm i\hat{S}_{2y}$$

puede expresarse (ejercicio)

$$\bm{\hat{S}}_1\cdot\bm{\hat{S}}_2 = \frac{1}{2} \big( \hat{S}_{1+}\hat{S}_{2-} + \hat{S}_{1-}\hat{S}_{2+} \big) + \hat{S}_{1z}\,\hat{S}_{2z} \;.$$

Con estas identidades podemos hallar los elementos de matriz para $\hat{S}^2\,$, mostrando primero que (ejercicio)

$$\hat{S}_{j+}\left\vert - \right\rangle = \hbar\left\vert + \right\rangle$$   y$$\qquad \hat{S}_{j-}\left\vert + \right\rangle = \hbar\left\vert - \right\rangle \;.$$

Entonces resulta (ejercicio)

$$\hat{S}^2 = \hbar^2 \begin{array}{c} \mbox{\scriptsize$++ \;\; +... ...5em}\color{pink}\fbox{\rule[-0.68em]{0em}{1.8em}\rule{3.6em}{0em}}\hspace{5em}$$

Nuevamente $m\!=\!0\,$ corresponde a una mezcla de los estados $\,\left\vert +- \right\rangle \,$ y $\,\left\vert -+ \right\rangle \,$. Afortunadamente para diagonalizar $\hat{S}^2\,$ solo debemos concentrarnos en ese bloque $2\times 2\,$, y el cambio de base que resulte mantendrá una expresión diagonal para $\hat{S}_z\,$. Se deja entonces como ejercicio la diagonalización de ese bloque, cuyos autovalores resultan $s\!=\!1\,$ y $s\!=\!0\,$, con autovectores respectivos

$$\left\vert u_1 \right\rangle = \frac{\left\vert +- \right\rangle +\left\vert -+ \right\rangle }{\sqrt{2}}$$   y$$\qquad \left\vert u_0 \right\rangle = \frac{\left\vert +- \right\rangle -\left\vert -+ \right\rangle }{\sqrt{2}} \;.$$

Quedamos así con tres autovectores de $\hat{S}^2\,$ con autovalor $s\!=\!1\,$ ( $\,\left\vert ++ \right\rangle ,\;\left\vert -- \right\rangle \,$ y $\,(\left\vert +- \right\rangle \!+\!\left\vert -+ \right\rangle )/\sqrt{2}\,$), por lo que se dice que conforman un triplete, y un autovector de $\hat{S}^2\,$ con autovalor $s\!=\!0\,$, estado llamado singlete.

En este ejemplo efectivamente hemos visto que el problema de sumar momentos angulares se restringió al cambio de la base producto $\,\left\vert s_1m_1s_2m_2 \right\rangle \,$ (autovalores de $\hat{S}_1^2, \hat{S}_{1z}, \hat{S}_2^2\,$ y $\hat{S}_{2z}\,$) a la base suma o base $s_{\;}$total $\,\left\vert s\,m\,s_1s_2 \right\rangle \,$ ( $\hat{S}^2, \hat{S}_{z}, \hat{S}_1^2\,$ y $\hat{S}_2^2\,$). El explicitar los valores de $s_1\,$ y $s_2\,$ ayuda a visualizar las dimensionalidades de los espacios involucrados, que deberían ser consistentes; en el caso de dos espines 1/2 que acabamos de ver, la correspondencia entre el espacio producto y el espacio suma suele representarse como

$$\textstyle \frac{1}{2} \otimes \frac{1}{2} = 1 \oplus 0 \;.$$

En cualquier suma de momentos angulares la dimensión de ambos espacios resultantes debe concordar; para la suma de dos espines 1/2, la dimensión correspondiente al espacio $\,\frac{1}{2}\otimes\frac{1}{2}\,$ es $\,(2s_1+1)(2s_2+1)\!=\!4\,$, mientras que para el espacio $\,1\oplus 0\,$ debemos sumar las dimensiones de los subespacios

$$\sum_{s=0}^1 (2s+1) = 4$$   (¡afortunadamente coinciden!)$$\;.$$

Desde el punto de vista de las rotaciones, pasamos de tener dos operadores $\mathscr{D}^{(1/2)}$ a tener un rotador $\mathscr{D}^{(0)}$ y un rotador $\mathscr{D}^{(1)}$. Así es como mediante el cambio de base redujimos las matrices $4\times 4\,$ que representan estas rotaciones, obteniendo las correspondientes matrices $1\times 1$ y $3\times 3\,$; estas matrices son irreducibles, en el sentido de que ya no podemos seguir subdividiendo los subespacios resultantes en partes que no se mezclen bajo rotaciones.

La elección de una u otra base depende del hamiltoniano asociado con el sistema que se desee estudiar. Por ejemplo, si tenemos dos espines no interactuantes bajo la acción de un campo magnético $B_o\,$ constante según la dirección $z\,$

$$\hat{H} = -\big(\gamma_1\,\bm{\hat{S}}_1+\gamma_2\,\bm{\hat{S}}_2\big)\cdot\bm{B} = -B_o \big(\gamma_1\,\hat{S}_{1z}+\gamma_2\,\hat{S}_{2z}\big)$$   ( $\gamma_1\,$ y $\gamma_2\,$ constantes)$$\;,$$

la elección obvia es la base producto, que tiene en cuenta por separado $\hat{S}_{1z}\,$ y $\hat{S}_{2z}\,$ (salvo que $\gamma_1\!=\!\gamma_2\,$, en cuyo caso daría igual si tomáramos la base suma, pues involucraríamos los autovalores de $\hat{S}_z\,$ total). Si en cambio analizamos la interacción dipolar entre dos espines

$$\hat{H} = A \bm{\hat{S}}_1\cdot\bm{\hat{S}}_2 = \frac{A}{2} \big(\hat{S}^2-\hat{S}_1^2-\hat{S}_2^2\big)$$   ($A\,$ constante)$$\;,$$

claramente conviene pasarse a la base suma. Este es el caso de la llamada interacción hiperfina entre el protón y el electrón en el átomo de hidrógeno. En ese caso el hamiltoniano total incluye el término de interacción coulombiana más la interacción entre espines. Se deja como ejercicio mostrar que el estado fundamental desdobla su correspondiente energía en un estado singlete con $E_{+}\!=\!-1$Ry $\,+\hbar^2A/4\,$ y un triplete con $E_{-}\!=\!-1$Ry $\,-3\hbar^2A/4\,$.