Polarización de espines 1/2

Consideremos un conjunto de espines $1/2$ sobre el cual deseamos evaluar sus propiedades estadísticamente, es decir, a través de valores medios. Vimos que cualquier operador sobre espinores toma la forma general (5). En el caso del operador densidad para un haz de espines, como $\,{\rm Tr} (\hat{\sigma}_j)=0\,$ ($j$=$x,y,z$), y debe cumplirse $\,{\rm Tr} (\hat{\rho})=1\,$, la expresión más general para $\hat{\rho}\,$ es

$$\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left(\hat{I}+\bm{b}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \;,$$

donde las componentes del vector $\bm{b}\,$ deben ser reales para que $\hat{\rho}\,$ sea hermitiano. Si elegimos la dirección $z\,$ de manera que $\bm{b}=b\hat{\bm{k}}\,$,

$$\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 1+b & 0 \\ 0 & 1-b \rule{0em}{1.3em} \end{array}\right) \;.$$

Los elementos de la diagonal son probabilidades, de manera que

$$\frac{1\pm b}{2} \le 1 \qquad \Rightarrow \qquad \vert b\vert \le 1 \;.$$

Para que el ensamble se halle en un estado puro debe cumplirse

$$\hat{\rho}^2 = \frac{1}{4} \left[ \hat{I} + 2\bm{b}\cdot\bm{\hat{... ...a}}\right) \left(\bm{b}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \right] = \hat{\rho} \;.$$

Utilizando la relación (4) para resolver el tercer sumando vemos que

$$\hat{\rho}^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1+b^2}{2}\,\hat{I} + \bm{b}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \;,$$

de modo que el estado será puro cuando $\,\vert\bm{b}\vert=1\,$.

Para un estado cualquiera, usando que ${\rm Tr} (\hat{\sigma}_j\hat{\sigma}_k)= 2\delta_{j,k}\,$ en virtud de (3), podemos evaluar el vector polarización del sistema, definido como el valor de expectación de $\bm{\hat{\sigma}}\,$

$$\langle \hat{\sigma}_j \rangle = {\rm Tr} \left(\hat{\rho}\,\hat{... ...t] = b_j \qquad\Rightarrow\qquad \langle\bm{\hat{\sigma}}\rangle = \bm{b} \;.$$

El grado de polarización entonces está dado directamente por el vector $\bm{b}\,$: cuando $b=\vert\bm{b}\vert=0\,$, se trata de un haz no polarizado, es decir no hay ninguna preferencia en la orientación de los espines; por el contrario, cuando $b=\vert\bm{b}\vert=1\,$, el haz está completamente polarizado y todos los espines se encuentran en el mismo estado.

La comprensión del concepto de espín y su adecuada descripción han permitido numerosas aplicaciones que llegan hasta la actualidad: grabado de datos en discos rígidos, láseres compactos —permitiendo por ejemplo la cirugía ocular y también la estereotáxica—, relojes atómicos, resonancia magnética nuclear, almacenamiento y lectura de música o datos en CDs, DVDs o memorias USB, relevamiento de pares en el ADN, etc.