Polarización de espines 1/2

Consideremos un conjunto de espines $1/2$ sobre el cual deseamos evaluar sus propiedades estadísticamente, es decir, a través de valores medios. Vimos que cualquier operador sobre espinores toma la forma general (5). En el caso del operador densidad para un haz de espines, como $\,{\rm Tr} (\hat{\sigma}_j)=0\,$ ($j$=$x,y,z$), y debe cumplirse $\,{\rm Tr} (\hat{\rho})=1\,$, la expresión más general para $\hat{\rho}\,$ es

$$\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left(\hat{I}+\bm{b}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \;,$$

donde las componentes del vector $\bm{b}\,$ deben ser reales para que $\hat{\rho}\,$ sea hermitiano. Si elegimos la dirección $z\,$ de manera que $\bm{b}=b\hat{\bm{k}}\,$,

$$\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 1+b & 0 \\ 0 & 1-b \rule{0em}{1.3em} \end{array}\right) \;.$$

Los elementos de la diagonal son probabilidades, de manera que

$$\frac{1\pm b}{2} \le 1 \qquad \Rightarrow \qquad \vert b\vert \le 1 \;.$$

Para que el ensamble se halle en un estado puro debe cumplirse

$$\hat{\rho}^2 = \frac{1}{4} \left[ \hat{I} + 2\bm{b}\cdot\bm{\hat{... ...a}}\right) \left(\bm{b}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \right] = \hat{\rho} \;.$$

Utilizando la relación (4) para resolver el tercer sumando vemos que

$$\hat{\rho}^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1+b^2}{2}\,\hat{I} + \bm{b}\cdot\bm{\hat{\sigma}}\right) \;,$$

de modo que el estado será puro cuando $\,\vert\bm{b}\vert=1\,$.

Para un estado cualquiera, usando que ${\rm Tr} (\hat{\sigma}_j\hat{\sigma}_k)= 2\delta_{j,k}\,$ en virtud de (3), podemos evaluar el vector polarización del sistema, definido como el promedio estadístico del valor de expectación de $\bm{\hat{\sigma}}\,$

$$\langle \hat{\sigma}_k \rangle_{\color{gray}\rm estad.} = {\rm Tr... ...\hat{\sigma}}\rangle_{\color{gray}\rm\scriptscriptstyle estad.}\! = \bm{b} \;.$$

El grado de polarización entonces está dado directamente por el vector $\bm{b}\,$: cuando $b=\vert\bm{b}\vert=0\,$, se trata de un haz no polarizado, es decir no hay ninguna preferencia en la orientación de los espines; por el contrario, cuando $b=\vert\bm{b}\vert=1\,$, el haz está completamente polarizado y todos los espines se encuentran en el mismo estado.

La comprensión del concepto de espín y su adecuada descripción han dado lugar a numerosas aplicaciones que llegan hasta la actualidad: grabado de datos en discos rígidos, láseres compactos —permitiendo por ejemplo la cirugía ocular y también la estereotáxica—, relojes atómicos, resonancia magnética nuclear, almacenamiento y lectura de música o datos en CDs, DVDs o memorias USB, relevamiento de pares en el ADN, etc. Más recientemente se lograron avances que incluyeron el descubrimiento de la magnetorresistencia gigante, que luego alentó el desarrollo de la “espintrónica”, es decir, la electrónica de transporte de espín, incluyendo uniones de tunelamiento magnético (MTJs), las memorias no volátiles (MRAM), la “computación neuromórfica”, y sistemas de sensado avanzado (ABS, odómetros, sensores médicos, llaves magnéticas, etc.).