Mezcla estadística de estados - Operador densidad

Cuando un sistema se encuentra en un determinado estado cuántico $\vert\phi\rangle=\sum_n C_n\vert n\rangle$, expresado en términos de la base $\{\vert n\rangle\}\,$ del espacio de Hilbert correspondiente, sus propiedades se miden a través de un conjunto completo de observables que conmutan, es decir, el máximo número de operadores independientes que pueden observarse en simultáneo. Si el sistema se encuentra en ese estado $\vert\phi\rangle\,$, cualquier medición conjunta de esas magnitudes provee idénticos resultados. El valor de expectación del observable $\hat{A}\,$ puede pensarse en términos del proyector $\hat{\rho}=\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\,$, ya que, utilizando la relación $\hat{I}=\sum_n \vert n\rangle \langle n\vert\,$ y la representación de los elementos de matriz $A_{mn}\,$,

$$\langle\hat{A}\rangle_\phi = \langle\phi\vert\hat{A}\vert\phi\ran... ...angle\langle\phi\vert\bigr)_{nm} = {\rm Tr} \bigl(\hat{\rho}\hat{A}\bigr) \;.$$

En este contexto $\hat{\rho}\,$ es solo un artilugio para completar las cuentas. Sin embargo, no siempre puede prepararse un sistema en un estado $\vert\phi\rangle\,$ perfectamente definido. Por el contrario, en lugar de tener certeza sobre un determinado estado, distintos kets (no correlacionados) pueden estar presentes en la preparación del sistema bajo estudio. Hay entonces cierta probabilidad $p_j\,$ de que el sistema se encuentre en el estado $\vert\phi_j\rangle\,$, teniendo varios estados $\vert\phi_j\rangle\,$ no necesariamente linealmente independientes, ni tampoco necesariamente completan el espacio de Hilbert de nuestra descripción. En general resulta imposible cambiar de base para representar al sistema mediante un único vector de estado.

Esto es lo que se conoce como mezcla estadística de $\vert\phi_1\rangle,\vert\phi_2\rangle\dots\,$ con probabilidades $p_1,p_2,\dots\,$, con $\sum_j p_j=1\,$. Cada característica de $\vert\phi_j\rangle\,$ debe estar presente en los experimentos a través de un peso estadístico $p_j\,$. En otras palabras, el valor de expectación de un observable en todo el conjunto debe ser un promedio estadístico de los valores de expectación para cada estado $\vert\phi_j\rangle\,$

$$\langle\hat{A}\rangle_{\rm estad.} = \sum_j p_j \langle\phi_j\ver... ...gle\langle\phi_j\vert\bigr)_{nm} = {\rm Tr} \bigl(\hat{\rho}\hat{A}\bigr) \;,$$

donde ahora el operador densidad

$$\hat{\rho} = \sum_j p_j \vert\phi_j\rangle\langle\phi_j\vert$$

permite evaluar el promedio estadístico en una mezcla en general. El operador densidad recibe su nombre por asociación a la densidad de probabilidad (en el caso continuo); puede verse que siempre se cumple que

$${\rm Tr} (\hat{\rho}) = 1$$   (ejercicio).

Si el “ensamble” es puro, la preparación garantiza la presencia de un único estado, y en particular el operador densidad cumple $\hat{\rho}^2=\hat{\rho}\,$. Como $\hat{\rho}\,$ es hermitiano puede diagonalizarse: en el caso de un ensamble puro, la expresión resultante posee un 1 en la diagonal, y el resto de los elementos son nulos. Por el contrario, cuando el ensamble es una mezcla, $\hat{\rho}^2\neq\hat{\rho}\,$ y la expresión diagonal siempre cuenta con más de un elemento no nulo. En cualquier caso puede verse que en su expresión diagonal los elementos $\rho_{ii}\,$ son las probabilidades de que el sistema se encuentre en el estado $\vert i\rangle\,$ de la base que lo diagonaliza.