Evolución de un espín en un campo magnético

Supongamos que tenemos electrones con espín 1/2 (por ejemplo, asociados a los núcleos de un sólido cristalino) sometidos a un campo magnético $\bm{B}\,$ uniforme . Ya vimos que el momento magnético asociado a ellos se pone en evidencia a través del momento angular intrínseco $\bm{\hat{S}}\,$ y resulta $\bm{\mu}_S=-g_s e/(2m_e c)\,\bm{\hat{S}}\,$. Si el campo de magnitud $B_o\,$ se orienta según la dirección $z\,$ ( $\bm{B}=B_o\hat{k}$), una descripción clásica impone la interacción con el campo a través del potencial

$$V = -\bm{\mu}_S \cdot \bm{B} \;.$$

Al pasar a la descripción cuántica sustituimos el valor correspondiente a $\bm{\mu}_S\,$ y obtenemos

$$V= \frac{g_s e}{2m_e c}B_o\, \hat{S}_z$$

(un desarrollo similar al realizado para abordar el efecto Zeeman). Concentrando la atención solo en las coordenadas de espín, y definiendo la frecuencia $\omega_o=g_s e B_o/(2m_e c)\,$, el hamiltoniano para el sistema resulta

$$\hat{H} = \omega_o\,\hat{S}_z \;.$$

La solución para este hamiltoniano independiente del tiempo es directa, ya que conocemos de antemano los autovalores para la energía $E_{\pm}=\pm\hbar\omega_o/2\,$ (proporcionales a $B_o$), asociados a los autovectores $\vert\pm\rangle\,$ de $\hat{S}_z\,$. Recuperando la forma general (1) para el estado inicial de un espín

$$\vert\chi(0)\rangle = \cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i\varphi/2}\,\ver... ...\\ \sen (\theta/2)\;e^{i\varphi/2} \rule{0em}{1.5em} \end{array}\right)} \;,$$

aplicamos a este estado la evolución temporal

$$\hat{U}_t = e^{-\frac{\mbox{\scriptsize $it$}}{\mbox{\scriptsize $\hbar$}}\hat{H}} \;,$$

que se traslada a cada término, de modo que se obtiene para cualquier instante posterior

$$\vert\chi(t)\rangle = \cos\frac{\theta}{2}\,e^{-i(\varphi/2+E_{+}... ...angle + \sen \frac{\theta}{2}\,e^{i(\varphi+\omega_o t)/2}\,\vert-\rangle \;.$$

Observamos en esta expresión que el desfasaje entre ambas componentes es proporcional a $t\,$. Más aun, el estado hallado para cualquier $t>0\,$ coincide con el “espín up” correspondiente a la orientación $(\theta,\varphi+\omega_o t)$, lo que significa que la inclinación $\theta\,$ con respecto al eje $z\,$ del laboratorio se mantiene constante, a medida que el eje inclinado para el cual $\left\vert \chi(t) \right\rangle$ es autovector va girando alrededor de $z\,$ con velocidad angular $\omega_o\,$. Es decir, al igual que en física clásica se observa una precesión de Larmor del momento magnético dipolar alrededor del campo aplicado.

Como $\hat{S}_z\,$ conmuta con $\hat{H}\,$, es una cantidad conservada. Se deja como ejercicio verificar los valores de expectación para $\bm{\hat{S}}\,$

$$\langle\chi(t)\vert\hat{S}_z\vert\chi(t)\rangle = \frac{\hbar}{2}... ..._y\vert\chi(t)\rangle = \frac{\hbar}{2}\sen \theta\,\sen (\varphi+\omega_o t)$$

(por supuesto, como $\hat{S}_x\,$ y $\hat{S}_y\,$ no conmutan con $\hat{H}\,$, no son constantes de movimiento). Estos valores de expectación justamente evidencian la precesión mencionada más arriba.

Cualquier sistema con dos estados posibles se describe de manera similar a este, bajo el popular nombre de sistema de dos niveles. En la resonancia magnética se observa un espín bajo un campo $B_o\,$ suficientemente intenso, se traslada la descripción a un sistema que rota a velocidad $\omega_o\,$, como sugiere la precesión de $\langle\bm{\hat{S}}\,\rangle$; se aplica un campo que rota con velocidad angular $\omega\,$ (pensado como superposición de dos campos oscilantes transversales) y se analiza el comportamiento para $\omega\to\omega_o\,$.