Ángulos de Euler

Para la elección de los 3 ángulos representativos de la orientación instantánea del sólido, imaginamos dos referenciales que comparten el origen de coordenadas: uno fijo al laboratorio $(x,y,z)$, y otro que se orienta con el sistema $(x_1,x_2,x_3)$, como se ilustra en la figura. Como nuestra idea es inclinar el eje $x_3\,$ alrededor del cual el cuerpo gira sobre sí mismo, lo primero que hacemos es rotar un ángulo $\phi\,$ alrededor del eje $z\,$ trasladando provisoriamente el eje $x_1\,$ hasta la línea nodal $MN$. A continuación realizamos un giro de magnitud $\theta\,$ para llevar el eje $z\,$ a la dirección final del eje $x_3\,$. Finalmente aplicamos una rotación de magnitud $\psi\,$ alrededor del eje $x_3\,$ para obtener la orientación instantánea del sólido.

Evidentemente, en esta construcción los cambios infinitesimales en ${\rm d}\bm{\varphi}$ están dados por la suma de las diferentes contribuciones ${\rm d}\phi$, ${\rm d}\theta\,$ y ${\rm d}\psi$, con el carácter vectorial impuesto por los correspondiente ejes de rotación, como convinimos anteriormente

$${\rm d}\bm{\varphi} = {\rm d}\bm{\phi}+{\rm d}\bm{\theta}+{\rm d}... ...qquad \bm{\Omega} = \bm{\dot{\phi}} + \bm{\dot{\theta}} + \bm{\dot{\psi}} \;,$$

es decir, la velocidad angular $\bm{\Omega}\,$ es el vector resultante de la suma de cada velocidad angular. Para encontrar las componentes de este vector según los ejes $x_1\,$, $x_2\,$ y $x_3\,$, comencemos notando que $\bm{\dot{\phi}}\,$ está sobre el eje $z\,$ original, con lo cual

$$\dot{\phi}_3=\dot{\phi}\,\cos\theta \;,$$

mientras que la proyección de $\bm{\dot{\phi}}$ sobre el plano $x_1\,$-$\,x_2\,$ es $\dot{\phi}\,\operatorname{sen}\theta$, sobre el eje $x_2\,$ provisorio (previo a la rotación en $\psi\,$), de manera que

$$\dot{\phi}_1=\dot{\phi}\,\operatorname{sen}\theta\,\operatorname{... ...si \;, \qquad \dot{\phi}_2=\dot{\phi}\,\operatorname{sen}\theta\,\cos\psi \;.$$

El giro según $\theta\,$ se efectúa alrededor de la línea nodal, que es normal al eje $x_3\,$, y luego se rota según $\psi\,$, por lo que

$$\dot{\theta}_1=\dot{\theta}\,\cos\psi \;, \qquad \dot{\theta}_2=-\dot{\theta}\,\operatorname{sen}\psi \;, \qquad \dot{\theta}_3=0 \;.$$

Finalmente, el giro $\psi\,$ se realiza alrededor del eje $x_3\,$, y por ende

$$\dot{\psi}_1=\dot{\psi}_2=0 \;, \qquad \dot{\psi}_3=\dot{\psi} \;.$$

Reuniendo todos estos elementos, podemos escribir las componentes de $\bm\,$ como

$$\Omega_1 = \dot{\phi}\,\operatorname{sen}\theta\,\operatorname{se... ...atorname{sen}\psi \;, \qquad \Omega_3 = \dot{\phi}\,\cos\theta + \dot{\psi} \;.$$ (30)

Cuando $x_1\,$, $x_2\,$ y $x_3\,$ coinciden con los ejes principales de inercia, podemos entonces expresar la energía cinética de rotación de un cuerpo en términos de $\dot{\phi}\,$, $\dot{\theta}\,$ y $\dot{\psi}\,$ (y también de $\phi\,$, $\theta\,$ y $\psi\,$). Por ejemplo, si retomamos la descripción del trompo simétrico ( $I_1=I_2\neq I_3\,$) y sustituimos las componentes (30) de $\bm{\Omega}$ en la expresión (28) obtenemos (ejercicio)

$$T_{\rm rot} = \frac{1}{2}\,I_1 \left( \dot{\phi}^2\operatorname{s... ...) + \frac{1}{2}\,I_3 \left( \dot{\phi}\,\cos\theta + \dot{\psi} \right)^2 \;.$$

También podíamos arribar a esta expresión aprovechando el hecho de que en cualquier trompo simétrico los ejes $x_1\,$ y $x_2\,$ pueden elegirse arbitrariamente, de modo que podemos tomar instantáneamente el eje $x_1$ en la línea nodal, es decir con $\psi=0\,$; en ese caso resulta

$$\hspace{6em} \Omega_1 = \dot{\theta}\;, \qquad \qquad \Omega_2 = ... ...e{sen}\theta \;, \qquad \qquad \Omega_3 = \dot{\phi}\,\cos\theta + \dot{\psi}$$    (no cambia)$$\;.$$

Volviendo al movimiento libre de fuerzas de un trompo simétrico, elegimos el eje $z\,$ acompañando al vector $\bm{J}$, y como es habitual $x_3\,$ coincide con el eje del trompo. Eligiendo instantáneamente el eje $x_1$ en la línea nodal, las componentes de $\bm{J}$, según $x_1\,$, $x_2\,$ y $x_3\,$ serán $(I_{\color{Green}1}=I_{\color{Green}2})$

$$J_1 = I_1\,\Omega_1 = I_1\,\dot{\theta} \;, \qquad\qquad J_2 = I_... ...quad J_3 = I_3\,\Omega_3 = I_3 \big(\dot{\phi}\,\cos\theta+\dot{\psi}\big) \;.$$

Como $x_1\perp z\,$, $\,\bm{J}=J\,\bm{\hat{k}}\,$ no tiene componente según $x_1\,$, con lo cual

$$J_1 = 0 \;, \qquad\qquad J_2 = J\,\operatorname{sen}\theta \;,\qquad\qquad J_3 = J\,\cos\theta \;,$$

de modo que al comparar con las expresiones anteriores concluimos que

$$\dot{\theta} = 0 \quad {\color{gray}(\theta = \,\mbox{cte})} \;, ... ..., \qquad I_3\,\big(\dot{\phi}\,\cos\theta+\dot{\psi}\big) = J\,\cos\theta \;.$$

La primera condición nos dice que la evolución del trompo se da manteniendo siempre la misma inclinación respecto del vector $\bm{J}\,$. La segunda igualdad nos indica que el eje $x_3\,$ gira con velocidad $\dot{\phi}=J/I_1\,$ alrededor de $\bm{J}\,$, coincidiendo con el resultado que habíamos obtenido anteriormente para $\Omega_{\rm pr}\,$. Finalmente, como $\Omega_3=\big(\dot{\phi}\,\cos\theta+\dot{\psi}\big)\,$, la última ecuación nos provee la velocidad de rotación del trompo alrededor de su eje $x_3\,$, $\Omega_3=(J_3/I_3)\cos\theta\,$.

Si analizamos un trompo simétrico “pesado”, es decir bajo la acción de la gravedad, manteniendo un punto de apoyo fijo, ahora es necesario agregar a la lagrangiana el término correspondiente al potencial gravitatorio

$${\color{lightgray}-}\,U = {\color{lightgray}-}\,M\,g\,\ell\,\cos\theta \;,$$

donde $\ell\,$ es la distancia del centro de masa al punto de apoyo fijo. Para describir la evolución de este sistema, puede resultar conveniente pensar en una rotación pura alrededor del punto de apoyo, que siempre se mantiene fijo; para ello utilizamos el teorema de Steiner y en lugar de los momentos de inercia baricéntricos $I_1\,$ nos desplazamos al centro de giro

$$\hspace{5em} {I_1\!}' = I_1 + M\,\ell^2 \qquad\qquad {\color[rgb]{.6,.6,.6}\left(I_3\!'=I_3\right)} \;.$$

La energía cinética contenida en la lagrangiana corresponde entonces solamente términos de rotación alrededor de ese punto fijo

$$L = \frac{1}{2}\,I_1\!' \big( \dot{\phi}^2\operatorname{sen}^2\th... ...g( \dot{\phi}\,\cos\theta + \dot{\psi} \big)^2 - \,M\,g\,\ell\,\cos\theta \;.$$

Notamos que las coordenadas $\phi\,$ y $\psi\,$ son cíclicas, de manera que se conservan sus momentos conjugados

$$p_\phi = \frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = \big(I_1\!'\,\op... ...^2\theta+I_3\,\cos^2\theta\big)\,\dot{\phi} + I_3\,\dot{\psi}\,\cos\theta = \,$$cte$$= J_z \;, \qquad p_\psi = I_3\,\big(\dot{\phi}\,\cos\theta + \dot{\psi}\big) = J_3 = \,$$cte$$\;.$$

Como sabemos que también se conserva la energía, podemos expresar en la relación $E=T+U\,$ las energías cinéticas en términos de $J_3\,$ y $J_z\,$ para eliminar $\dot{\phi}\,$ y $\dot{\psi}\,$, y reducir el problema a un movimiento en una dimensión, correspondiente a la coordenada $\theta\,$. Así expresamos (ejercicio)

$$\dot{\phi} = \frac{J_z-J_3\cos\theta}{I_1\!'\,\operatorname{sen}^2\theta}$$   y$$\qquad\qquad \dot{\psi} = \frac{J_3}{I_3} - \cos\theta\frac{J_z-J_3\cos\theta}{I_1\!'\,\operatorname{sen}^2\theta} \;,$$

de modo que podemos definir un potencial efectivo $U_{\rm ef}(\theta)\,$ para escribir (ejercicio)

$$E = \frac{1}{2}\,I_1\!'\,\dot{\theta}^2 + U_{\rm ef}(\theta) \;.$$

Como siempre, podemos establecer puntos de retorno para $\theta\,$: habrá un valor mínimo $\theta_1\,$ y un máximo $\theta_2\,$, es decir, el movimiento resultante exhibe una precesión irregular dada por la evolución de $\phi\,$, acompañada de una nutación, como se denomina el cambio en la inclinación del eje $x_3\,$, contenida en la coordenada $\theta\,$. En la expresión anterior para $\dot{\phi}\,$ vemos que dependiendo de la relación entre $J_z\,$ y $J_3\,$, la evolución de los valores que vaya tomando $\theta\,$ puede originar cambios en el signo de $\dot{\phi}$; queda como ejercicio analizar las diferentes posibilidades, ilustradas en la figura siguiente.