Tensor de inercia

Al evaluar la energía cinética para nuestro sistema (respecto del referencial en el laboratorio), vimos que se separan naturalmente las contribuciones de la traslación y la rotación, de manera que (ejercicio)

$$T = \sum_i \frac{1}{2}m_i\bm{v}_i^2 = \frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\bm{V}+\bm{\Omega}\times\bm{r}_i\right)^2 = \frac{1}{2} \Big(\sum_i m_i\Big) V^2 + \bm{V} \cdot \Big(\bm{\Ome... ...\bm{r}_i}\Big) + \frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\bm{\Omega}\times\bm{r}_i\right)^2$$

$$= \qquad\frac{1}{2}\; M\;V^2 \quad {\color[rgb]{.65,.65,.65}+\;\qqu... ...m_i \left[ \Omega^2 r_i^2 - \left(\bm{\Omega}\cdot\bm{r}_i\right)^2 \right] \;,$$

donde el primer término corresponde a la energía cinética de traslación, mientras que el último refleja la de rotación. Aquí introducimos el tensor de inercia, definido en términos de las componentes $x_{i,\ell}\;(\ell=1,2,3)$ de los vectores $\bm{r}_i$

$$I_{jk} = \sum_i m_i \left[ \bigg(\sum_{\ell}x_{i,\ell}^2\bigg) \delta_{j,k} - x_{i,j}\,x_{i,k} \right] ,$$

que en algunos casos puede reducirse a un escalar, como veremos más adelante. La expresión para la energía cinética de rotación resulta entonces

$$T_{\rm rot} = \frac{1}{2} \sum_i m_i \left[ \bigg(\sum_{j,k} \Omega_j\Omega_k... ...- \bigg(\sum_j\Omega_j x_{i,j}\bigg) \bigg(\sum_k\Omega_k x_{i,k}\bigg) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \sum_{j,k} \Omega_j\Omega_k \left\{ \sum_i m_i \lef... ...,x_{i,k} \right] \right\} = \frac{1}{2} \sum_{j,k} \Omega_j\Omega_k\,I_{jk} \;,$$

donde $\Omega_j\,$ señala la componente $j$-ésima del vector $\bm{\Omega}$. Entonces, podemos construir la lagrangiana de un cuerpo rígido sometido a un potencial $U$ mediante la expresión

$$L = \frac{1}{2}\,M\,V^2 + \frac{1}{2} \sum_{j,k} I_{jk}\,\Omega_j\Omega_k - U \;.$$

Es importante señalar que nos restringimos a casos de campos conservativos, en los que la energía potencial solo depende de las posiciones de las partículas: como estas se mueven rígidamente, es decir se trasladan como un todo o cambian sus orientaciones pero no sus distancias relativas, $U$ depende entonces de la ubicación del centro de masa $(\bm{R})$ y de 3 ángulos que definen los cambios de la orientación del sistema, como especificaremos más adelante.

El tensor de inercia es entonces simétrico, y tiene la forma

$$I_{jk} = \left( \begin{array}{ccc} \sum_i m_i\left(y_i^2+z_i^2\r... ..._i m_i\,y_i\,z_i & \sum_i m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) \end{array} \right) \;.$$

Los elementos diagonales $I_{xx}=I_{11}\,$, $I_{yy}=I_{22}\,$, $I_{zz}=I_{33}\,$ son los momentos de inercia con respecto a cada eje. Si bien en estas expresiones pensamos en añadir masas individuales, ya dijimos que en nuestra descripción consideramos la materia como un continuo, que nos lleva a pensar en elementos de masa infinitesimales ${\rm d}m\,$ relacionados con los elementos de volumen ${\rm d}V={\rm d}^3r\,$ a través de la densidad másica, es decir

$${\rm d}m = \rho\;{\rm d}V \qquad\to\qquad I_{jk} = \int {\rm d}^3... ...}) \left[ \bigg(\sum_{\ell}x_\ell^2\bigg) \delta_{j,k} - x_j\,x_k \right] \;.$$

El hecho de que el tensor de inercia sea simétrico nos indica que puede diagonalizarse, cambiando a una base ortogonal, o reorientando los ejes coordenados $x_1\,$, $x_2\,$ y $x_3\,$: estos ejes de la representación diagonal se corresponden con los ejes principales de inercia, y señalamos los elementos diagonales como $I_1\,$, $I_2\,$ e $I_3\,$, denominados momentos principales de inercia. Cuando elegimos estos ejes para nuestra descripción, la energía cinética de rotación toma la forma sencilla

$$T_{\rm rot} = \frac{1}{2}\left(I_1\,\Omega_1^2 + I_2\,\Omega_2^2 + I_3\,\Omega_3^2\right) \;.$$ (28)

A un cuerpo rígido que tiene 3 momentos principales de inercia diferentes, lo denominamos trompo asimétrico (o peonza  asimétrica). Aquel que tiene dos iguales, diferentes del tercero, es decir, $I_1=I_2\neq I_3\,$, se llama trompo simétrico (o peonza  simétrica). El trompo esférico es el sólido cuyos 3 momentos principales son iguales. En cualquier caso, siempre se cumple que (ejercicio)

$$I_j \le I_k + I_\ell \qquad (j\neq k\neq\ell\neq k) \;.$$

Las geometrías simétricas de un sistema más o menos homogéneo pueden facilitar la elección de los ejes principales de inercia. Por ejemplo cuando hay un plano de simetría, el centro de masa estará contenido en ese plano, que alojará 2 ejes principales, mientras que el tercero será normal a él. Otro ejemplo sencillo se da cuando un sistema consta solamente de partículas coplanares, eligiendo el eje $x_3\,$ normal a ese plano, se cumplirá que (ejercicios) $I_1=\sum_i m_i\,y_i^2$, $I_2=\sum_i m_i\,x_i^2$, y también $I_3=I_1+I_2\,$. Si consideramos el caso de un cuerpo que posee un eje de simetría, este contendrá al centro de masa, y además será un eje principal de inercia (los otros dos serán normales a este). Como último ejemplo, consideremos un sistema de partículas colineales, que disponemos sobre el eje $x_3\,$, de manera que (ejercicios) $I_1=I_2=\sum m_iz_i^2$, mientras que $I_3=0\,$: estos sistemas solo poseen 2 grados de libertad para la rotación, ya que no tiene sentido pensar en una rotación alrededor del eje $x_3\,$.

En algunas situaciones resulta conveniente describir la rotación alrededor de un eje que no pase por el centro de masa del sistema, como suele ocurrir cuando se cumple la condición de rodadura que describimos en §3.4.1. En esos casos se puede recurrir al teorema de Steiner: si el vector $\bm{a}=(a_1,a_2,a_3)$ conecta el centro de masa $(\bm{R}\,)$ con el punto $\bm{r}_{\!_G}$ que tomamos como “centro de giro” ( $\,\bm{a}=\bm{r}_{\!_G}-\bm{R}\,$), el momento de inercia $I^{\scriptscriptstyle(G)}$ respecto de $\bm{r}_{\!_G}$ se relaciona con el momento de inercia baricéntrico $I^{(o)}$, es decir alrededor de un eje de rotación que pasa por el centro de masa, mediante la expresión

$$I^{\scriptscriptstyle(G)} = I^{(o)} + M \left( a^2\delta_{j,k} - a_j\,a_k \right) \;,$$

donde $a$ es la distancia entre ambos ejes de giro.